Надо заметить, что он глубоко изучил научные труды Архимеда и всегда выказывал глубочайшее уважение к его методу работы и достижениям. Галилей цитирует Архимеда в своих книгах, например в «Диалоге о двух новых науках», «Пробирных дел мастере» и «Маленьких весах», а кроме того, упоминает его во многих письмах. Исследование движения тел, которым занимался Галилей, основано как раз на гидростатике Архимеда. Так, итальянский ученый представил себе движение в среде, которая оказывала все меньше сопротивления движущемуся телу. В итоге он пришел к своим выводам и сформулировал знаменитые уравнения движения в отсутствии воздуха, хорошо понимая, что в его время нельзя было в точности доказать их истинность из-за сопротивления реального воздуха при падении тела. Уравнения Галилея о движении описывают положение тела и его скорость в вакууме и могут быть с большой точностью применены в гравитационном поле: например, при сбрасывании тела с некоторой высоты. И все-таки воздух создает сопротивление падению, а это значит, что в реальных земных условиях они неверны. В 1971 году астронавт Дэвид Скотт уронил перо и молоток на поверхность Луны, чтобы убедиться, что они достигнут поверхности одновременно, учитывая отсутствие там атмосферы, а следовательно, и сопротивления воздуха. Таким образом уравнения Галилея были доказаны экспериментально. «Это показывает, что идеи господина Галилея верны»,— заметил Скотт после окончания знаменитого опыта. Его эксперимент стал жестом уважения к итальянскому ученому и, опосредованно, к его учителю — Архимеду.
Единственной работой Архимеда, которую можно назвать научно-популярной, является книга «Исчисление песчинок» (иногда ее называют также по-гречески — «Псаммит»), Открывается этот трактат посвящением Гелону Сиракузскому, сыну Гиерона II. Осознавая трудности, способные возникнуть у адресата с чтением научной книги, Архимед ободряет его словами: «Но я постараюсь объяснить тебе все с помощью геометрических построений, которые ты можешь понять...». После же долгих операций с гигантскими числами Архимед заканчивает изложение, вспомнив о людях, не слишком знакомых с математикой, и в заключение вновь обращается к Гелону: «Надеюсь, что и ты понял это все». Некоторые специалисты считают, что данная работа не слишком интересовала ни людей того времени, ни представителей последующих эпох, к тому же она была написана на сиракузском диалекте. Несмотря на это, само существование такой книги говорит о том, что Архимед был близко знаком с реальной жизнью, интересовался популяризацией науки и распространением знаний. В трактате он задается вопросом, сколькими песчинками можно было бы заполнить Сиракузы — бесконечно ли их количество? В тексте говорится, что нет. Затем ученый высчитывает, сколько песчинок бы вместила Сицилия, сколько понадобилось бы для наполнения всех гор Земли... И так вплоть до числа песчинок, необходимых для заполнения Вселенной. Архимед хочет показать Гелону, что даже их число не бесконечно.
Архимед о том, какое количество песчинок необходимо, чтобы заполнить Вселенную
В то время не существовало названий для чисел, обозначающих настолько большие количества. Поэтому Архимед взялся за реформу системы счисления, предложив внести в нее некоторые изменения, чтобы иметь возможность оперировать большими числами. Принципиальное ограничение древнегреческой числовой системы состояло в том, что для обозначения чисел использовались буквы, и это вносило в операции с большими числами настоящий хаос. С концептуальной точки зрения Архимед в своем трактате делает попытку приближения к нынешней числовой системе, которая позволяет нам записывать по желанию любые самые большие числа. «Исчисление песчинок» не нужно считать просто математическим развлечением — в этом труде ученый касается греческой астрономии и прямо упоминает своего отца, астронома Фидия, как мы увидим чуть позже. Архимед начинает «Исчисление песчинок» с пояснения, что он понимает под «миром», и излагает здесь мнение большинства астрономов: мир — это шар, в центре которого находятся Земля и Солнце. Он не поддерживает гелиоцентрическую гипотезу Аристарха Самосского (310-230 до н. э.). Но интересно, что он отвергает ее не потому, что считает невозможным движение Земли, как это делали последующие поколения астрономов, а из-за неувязки, описанной так:
