За последние десять лет вычислительная мощность компьютеров заметно выросла. Согласно закону Мура, производительность компьютерных процессоров удваивается каждые 18 месяцев, поэтому для поддержания криптостойкости алгоритма RSA в различных технологических решениях необходимо постоянно увеличивать длину открытого ключа. Поскольку до бесконечности этот процесс продолжаться не может, от данного алгоритма стали отказываться и переходить к более прогрессивным решениям, в которых достаточная криптостойкость поддерживается для ключей с разумной разрядностью – в пределах 256–1024 бит. Одним из таких стал алгоритм формирования цифровой подписи DSA, построенный на модели дискретного логарифмирования. В данном алгоритме используется так называемая модульная арифметика, которая представляет собой задачу поиска степени, в которую необходимо возвести заданное число, чтобы, разделив результат по модулю на другое заданное число, получить желаемый остаток от деления. Чтобы стало понятнее, рассмотрим следующий пример:
Деление по модулю – это обычное деление целых чисел друг на друга с целым остатком. Подобную арифметическую операцию проходят в младших классах школы, непосредственно перед изучением дробей. После чего про деление с остатком благополучно забывают и не вспоминают до университетского курса высшей математики. Где неожиданно выясняется, что деление с остатком на самом деле играет довольно важную роль в теории чисел и алгебре. В нашем примере мы должны определить, в какую степень нам надо возвести тройку, чтобы потом, разделив полученный результат по модулю на 17, получить число 13 в качестве остатка от деления. Правильный ответ: x = 4. То есть 34 = 81, 81/17 = 4 + остаток 13 (проверка: 4 x 17 = 68 + 13 = 81). Довольно просто, не правда ли? Возводя тройку в различные степени x от единицы и более, а затем деля по модулю полученный результат на 17, мы будем каждый раз получать различные остатки от деления. Однако у них будет одно общее свойство – все эти остатки будут находиться в диапазоне от 1 до 16 включительно, но выстраиваться отнюдь не по порядку (по мере последовательного возрастания степени x). Множество этих чисел называется кольцом вычетов. Кольцом, потому что остатки будут постоянно повторяться для разных показателей степени, в которую возводится базовое число. А теперь представим, что мы оперируем не одно-двухразрядными, а очень большими числами. В этих случаях, если степень заданного числа нам заранее неизвестна, то задача ее нахождения для конкретных величин остатков становится очень и очень сложной. Именно эта сложность и лежит в основе алгоритма DSA.
Как уже упоминалось выше, все подобные алгоритмы шифрования построены на принципе, при котором задача в одну сторону решается очень быстро и просто, а в обратную – исключительно сложно. И алгоритм DSA – не исключение. Если мы будем решать задачу для больших чисел путем простого перебора различных значений, то данный метод будет работать очень медленно. Поэтому вместо обычного перебора были разработаны алгоритмы, которые решают эту задачу гораздо эффективнее. Настолько эффективно, что, принимая во внимание постоянное увеличение производительности современных компьютеров, математики вынуждены были задуматься о необходимости повышения сложности алгоритма шифрования. В противном случае они могли бы столкнуться с проблемой массового взлома шифров уже в относительно недалеком будущем.
Чтобы придать задаче существенное усложнение, в 1985 году был разработан алгоритм дискретного логарифмирования на базе эллиптических кривых (алгоритм ECDSA). О чем в данном случае идет речь и что это за кривая? Эллиптическая кривая – это множество точек, описываемое уравнением
На множестве точек эллиптической кривой могут выбираться такие точки, для которых возможно совершить операцию сложения самих с собой и получить результат в виде другой точки на этой же кривой. То есть решить уравнение
