При втором броске число возможных исходов удваивается. Вариант 1: выигрыш-выигрыш. Вариант 2: выигрыш-проигрыш. Вариант 3: проигрыш-выигрыш. Вариант 4: проигрыш-проигрыш. У каждого из этих вариантов одинаковые шансы, комбинация из одного выигрыша и одного проигрыша встречается вдвое чаще, так как варианты 2 и 3, выигрыш-проигрыш и проигрыш-выигрыш, приводят к одинаковому результату. И в этом ключ к гауссиане. В середине очень многое сглаживается, и, как мы увидим, к середине тяготеет большинство. Поэтому если при каждом броске разыгрывается доллар, то на втором броске ваши шансы таковы: 25 процентов, что вы приобретете или потеряете 2 доллара, и 50 процентов, что выйдете в нуль.
Третий бросок снова удваивает число исходов, так что их становится восемь. Вариант 1 (выигрыш-выигрыш после двух бросков) разветвляется на выигрыш-выигрыш-выигрыш и выигрыш-выигрыш-проигрыш. Мы добавляем выигрыш или проигрыш к каждому из предыдущих результатов. Вариант 2 разветвляется на выигрыш-проигрыш-выигрыш и выигрыш-проигрыш-проигрыш. Вариант з разветвляется на проигрыш- выигрыш-выигрыш и проигрыш-выигрыш-проигрыш. Вариант 4 разветвляется на проигрыш-проигрыш-выигрыш и проигрыш-проигрыш-проигрыш.
Теперь у нас восемь вариантов, все одинаково вероятные. Заметим, что снова можно сгруппировать средние исходы, в которых выигрыш перечеркивает проигрыш. (На доске Гальтона ситуации, когда шар отлетает влево, а затем вправо, или наоборот, преобладают, так что в результате в середине оказывается много шаров.)
Совокупный итог таков: 1) три выигрыша; 2) два выигрыша, один проигрыш, итого один выигрыш; з) два выигрыша, один проигрыш, итого один выигрыш; 4) один выигрыш, два проигрыша, итого один проигрыш; 5) два выигрыша, один проигрыш, итого один выигрыш; 6) два проигрыша, один выигрыш, итого один проигрыш; 7) два проигрыша, один выигрыш, итого один проигрыш; и, наконец, 8) три проигрыша.
Из восьми вариантов вариант трех выигрышей встречается однажды. Вариант трех проигрышей встречается однажды. Вариант одного итогового проигрыша (один выигрыш, два проигрыша) встречается три раза. Вариант одного итогового выигрыша (один проигрыш, два выигрыша) встречается три раза.
Сделаем еще один бросок, четвертый. Будет шестнадцать равновероятных исходов. Один вариант четырех выигрышей, один вариант четырех проигрышей, четыре варианта двух выигрышей, четыре варианта двух проигрышей и шесть вариантов выхода в нуль.
"Quincunx" (это латинское производное от числительного "пять") в нашем пинбольном примере представляет собой иллюстрацию пятого броска или шага, после которого шансы, как легко высчитать, возрастают до шестидесяти четырех. Вот идея, воплощенная в доске Фрэнсиса Гальтона. Гальтону явно недоставало здоровой лени и математической сметки: вместо того чтобы сооружать такое устройство, вообще-то проще было поработать с алгеброй или провести мысленный эксперимент вроде нашего.
Однако продолжим игру до сорокового броска. На это уйдет лишь несколько минут, но понадобится калькулятор, чтобы вычислить количество исходов, так как наши мозги с этим не справятся. Получится 1 099 511 627 776 возможных комбинаций — то есть более тысячи миллиардов. Не затрудняйтесь просчитывать шаг за шагом — это будет два в сороковой степени, так как на каждом этапе каждая цепочка раздваивается. (Вспомните, как мы добавили выигрыш и проигрыш к вариантам третьего броска, удвоив число вариантов.) Из этих комбинаций только одна будет состоять из сорока выигрышей и только одна — из сорока проигрышей. Остальные будут тяготеть к середине, в данном случае — к нулю.
Вам уже ясно, что этот тип случайности чрезвычайно беден крайностями. Все сорок бросков оказываются выигрышными лишь в одном случае из 1 099 511 627 776. Если вы станете час за часом проделывать это упражнение с сорока бросками, вам придется здорово попотеть, прежде чем выпадут сорок орлов (или сорок решек) подряд. Поскольку вы наверняка будете прерываться, чтобы поесть, поспорить с друзьями и соседями, попить пива и поспать, то готовьтесь, ради такой удачи, прожить около четырех миллионов жизней. А представьте, что вы добавляете один лишний бросок. Чтобы выкинуть орла сорок один раз подряд, понадобится потратить на попытки восемь миллионов жизней! Переход от 40 к 41 уменьшает шансы вдвое. Это — ключевое свойство немасштабируемого подхода к анализу случайности: крайние отклонения убывают с все возрастающей скоростью. А пятьдесят орлов подряд могут выпасть один-единственный раз на протяжении 4 миллиардов жизней!
Мы еще не получили "гауссову кривую", но сильно приблизились к ней. Пока это протогауссиана, но суть уже видна. (На самом деле вы никогда не встретите "гауссову кривую" в чистом виде, так как это платоническая фигура — к ней можно только стремиться, но достичь ее невозможно.) Но, как показывает рисунок 9, знакомая колоколовидная форма уже просматривается.
