Однако возможны значительные отклонения от (109) как при большом х (результате красного смещения звездного света), так и при маленьком х (результате нетермальных радиоизлучений). Не углубляясь в детали, скажем просто, что f(x) в целом является уменьшающейся функцией х и быстро стремится к нулю по мере того, как х —> ∞.
Общая энергетическая плотность радиации во вселенной составляет
(4π/c) ∫I(ω) hωdω = (kθR)4I / (π2h3c3), (110)
где
I = ∫0∞f(x)x2dx. (1ll)
Интеграл I должен сходиться как при высоких, так и при низких частотах. Следовательно, мы можем найти такое числовое ограничение b, что
x3f(x)
для всех х. В сущности, (112), вероятно, выполняется при b = 10, если мы будем избегать некоторых определенных частот, например водородной линии 1420 Мгц.
Число шумовых фотонов, полученных в течение времени tB приемником с шириной полосы В' и сечением составляет
FN = 4π∫'B'τBI(ω'). (113)
Подставляя значения из (95), (96), (100), (103) и (108) в (113), получаем:
FN = (2r0/λB)fN'F', (114)
где
r0 = (e2/mc2) = 3∙10–13cm, (115)
а
λB = (hc / kθ'R) = Λ-1RB (116)
— длина волны фонового реликтового излучения во время приема сообщения. Если F' — сигнал, то отношение сигнала к шуму равняется
RSN = (λB / 2fN'r0). (117)
В этой формуле f — отношение шума и температуры, заданное (108), N' — число электронов приемника, а ρ0, λB заданы (115) и (116). Отметим, что в вычислении (117) мы не даем приемнику возможности выбора угла, поскольку сечение заданное (95), не зависит от направления.
Теперь подведем итоги нашего анализа. У нас имеются передатчик и приемник на мировых линиях А и В, передающие и принимающие сигналы во время tA = Т0 (sinhξ — ξ), tB = Т0 (sinh(ξ + η) — (ξ + η)). (118)
Согласно (89) и (101),
τA = δ(dtA/dξ), τB = δ(dtB/dξ). (119)
Для удобства будем считать, что передатчик постоянно направлен на приемник и передает сообщения с определенным циклом 8, который может изменяться в зависимости от Когда 5 = 1, передатчик все время включен. Число F' фотонов, принимаемых во время τв, может рассматриваться как количество битов в отношении к переменной ξ. В сущности, F'dξ — это число битов, получаемых в интервале dξ. Работать с переменной ξ полезно, поскольку она поддерживает постоянное различие л между А и В.
Из (100), (101), (103), (107) и (108) мы выводим простую формулу количества битов:
F = Λхδ. (120)
Энергия Е, переданная во время τА, может также рассматриваться как скорость передачи энергии в единицу интервала Из (104) и (120) мы выводим
Е = (Λ3 / NN') (1 + z) (sinh2η)x3δEc. (121)
Мы все еще можем свободно выбирать параметры х [определяя частоту со согласно (108)] и 5, оба из которых могут изменяться в зависимости от Единственные ограничения — (102) и сигнально–шумовое условие
RSN≥10, (122)
где соотношение сигнала и шума вычисляется согласно (117). Если мы предположим, что (112) верно при b = 10, (122) будет обеспечивать, что
х >(G/r)1/3, (123)
где
G = (200r0 / λp) N' (1+z)-1 = 10–9N' (1+z)-1, (124)
r = (RA / Rp) = (cosh ξ – 1) / (cosh ξp – 1). (125)
Здесь λp, Rp и ξp — текущие значения длины волн фоновой радиации, радиуса вселенной и временной координаты ψ Стоит отметить, что сигнально–шумовое условие (123) может быть трудно для соблюдения поначалу, пока r мало, но с течением времени, по мере того как во вселенной становится все тише, его становится все легче выполнять. Чтобы избежать чрезмерной траты энергии на ранних стадиях, вначале мы выбираем маленький цикл 5 и постепенно увеличиваем его, пока он не достигает единицы. Все условия выполняются, если мы выбираем
х = max [(G / r)1/3, ξ-1/2], (126)
δ = min [(r / G)ξ-3/2, 1], (127)
так что
х3δ = ξ-3/2 (128)
для всех Переход между двумя уровнями в (126) и (127) происходит при
ξ = ξT~logG, (129)
поскольку ξ логарифмически возрастает вместе с r согласно (125). При таком выборе х и 8 (120) и (121) дают следующее:
F' = Λmin [(r / G)2/3ξ-3/2, (130)
Е = (Λ3 / NN') (1+z) (sinh2η) Еcξ-3/2. (131)
Теперь рассмотрим общее число битов, полученных В вплоть до некоей эпохи ξ в отдаленном будущем. Согласно (130), их число равно приблизительно
FT = ∫χ F'dξ = 2Λξ1/2 (132)
и беспредельно возрастает по мере возрастания С другой стороны, общее количество энергии, излученной передатчиком на протяжении всего будущего, конечно:
Ет = ∑ξ, Edξ = 2(Λ3 / NN') (еη sinh2η)ξp-1/2Ec. (133)
