Так же точно и в математике. Возьмем любую алгебраическую величину а. Если мы отрицаем ее, мы получим — a (минус а). Если же мы подвергнем отрицанию это отрицание, помножив — a на — a, то получим + а2, т. е. первоначальную положительную величину, но на высшей ступени, именно во второй степени. И в этом случае не имеет значения, что то же самое а2 мы можем получить умножением положительного а на само себя. Ибо отрицаемое отрицание а так прочно пребывает в а2, что последнее при всяких обстоятельствах имеет два квадратных корня, именно + a и — а. И эта невозможность отделаться от отрицания отрицания, от содержащегося в квадрате отрицательного корня получает очень осязательное значение уже в квадратных уравнениях. Еще резче отрицание отрицания выступает в высшем анализе, в тех «суммированиях бесконечно малых величин», которые сам г. Дюринг объявляет наивысшими математическими операциями и которые на обычном языке называются дифференциальным и интегральным исчислением. Как производятся эти виды исчисления? Например, у нас в известной задаче имеются две переменные величины х и у, из которых одна не может изменяться без того, чтобы и другая не изменилась в определенном условиями задачи отношении. Я дифференцирую х и у, т. е. принимаю их столь бесконечно малыми, что они исчезают по сравнению со сколь угодно малой действительной величиной, что от х и у не остается ничего, кроме взаимного их отношения, лишенного, так сказать, всякой материальной основы, остается количественное отношение, лишенное всякого количества. Следовательно, dy/dx, т. е. отношение обоих дифференциалов х и у, равно 0/0, но это 0/0 выражает собою y/x. Упомяну лишь мимоходом, что это отношение двух исчезнувших величин, этот фиксированный момент их исчезновения, представляет собой противоречие; но оно должно нас тревожить так же мало, как оно вообще мало тревожило математику в течение почти 200 лет. Итак, что же я делаю, дифференцируя, как не то, что я отрицаю х и у, но только не в том смысле, что мне до них нет дела, как отрицает метафизика, а отрицаю соответственно обстоятельствам дела? Именно, вместо х и у я имею в данных формулах или уравнениях их отрицание dx и dy. Затем я произвожу дальнейшие действия с этими формулами, обращаюсь с dx и dy как с величинами действительными, хоть и подверженными некоторым исключительным законам, и в известном пункте я отрицаю отрицание, т. е. интегрирую дифференциальную формулу, вместо dx и dy вновь получаю действительные величины х и у и тем самым не просто возвращаюсь к исходному моменту, но разрешаю задачу, на которой обыкновенные геометрия и алгебра, быть может, понапрасну обломали бы себе зубы.
Не иначе обстоит дело и с историей. Все культурные народы начинают с общинной собственности на землю. У всех народов, которые перешли известную ступень первобытного состояния, общинная собственность начинает, по мере развития земледелия, сковывать производство. Она отменяется, отрицается, и после более или менее долгих промежуточных стадий превращается в частную собственность. Но на высшей ступени развития земледелия, достигаемой благодаря господству частной собственности на землю, последняя, в свою очередь, налагает оковы на производство, и это в настоящее время наблюдается как в мелком, так и в крупном землевладении. Отсюда необходимо возникает требование отрицания частной земельной собственности, превращения ее в собственность общественную. Но это требование не означает восстановления первобытной общинной собственности, но установление более высшей, более развитой формы общего владения, которое не только не является препятствием для производства, но, наоборот, впервые освобождает последнее от оков и дает ему возможность сполна использовать современные химические открытия и механические изобретения.
Или же еще пример. Античная философия представляла первобытный, естественный материализм. Как таковой, она не была способна выяснить отношение мысли к материи. Но необходимость выяснения этого вопроса привела к учению об отделимой от тела душе, далее — к утверждению бессмертия этой души, наконец, к монотеизму. Старый материализм был, таким образом, отрицаем идеализмом. Но при дальнейшем развитии философии идеализм также оказался несостоятельным и отрицается современным материализмом. Последний — отрицание отрицания — не представляет собой простого воскрешения старого материализма, но к прочным основам последнего присоединяет еще все идейное содержание двухтысячелетнего развития философии и естествознания, равно как и самой этой двухтысячелетней истории. Вообще он уже не является философией, но просто мировоззрением, которое ищет доказательств и проявляется не в особой науке наук, но в самих реальных науках. Философия, таким образом, «снята», т. е. «схоронена», «одновременно уничтожена и сохранена». Уничтожена формально, сохранена по своему действительному содержанию. Таким образом, там, где г. Дюринг видит только «игру слов», оказывается, при более внимательном наблюдении, реальное содержание.
