Прямое и кривое. В дифференциальном исчислении они в конечном счете приравниваются друг к другу. В дифференциальном треугольнике, гипотенузой которого является дифференциал дуги (в методе касательных), эту гипотенузу можно рассматривать «как маленькую прямую линию, являющуюся одновременно элементом дуги и элементом касательной», независимо от того, рассматривают ли кривую как состоящую из бесконечно многих прямых линий или также [Цитата приводится по-французски.] «как строгую кривую, ибо так как искривление в каждой точке М бесконечно мало, то последнее отношение элемента кривой к элементу касательной есть, очевидно, отношение равенства». Итак, хотя здесь отношение непрерывно приближается к отношению равенства, но приближается по природе кривой асимптотическим образом, так как соприкасание ограничивается не имеющей длины точкой, однако в конце концов принимается, что достигнуто равенство кривой и прямой. Bossut, Calcul diff. et. int. Paris, An VI, I, стр. 149. В случае полярных кривых дифференциально мнимая абсцисса рассматривается даже как параллельная реальной абсциссе, и на этой основе производят действие, хотя обе пересекаются в полюсе; отсюда даже умозаключают о подобии двух треугольников, из которых один имеет угол как раз в точке пересечения обеих линий, на параллелизме которых основывается все подобие!..
Когда таким образом исчерпывается математика прямого и кривого, то открывается новое, почти безграничное поприще, т. е. математика, которая рассматривает кривое как прямое (дифференциальный треугольник), и математика, которая рассматривает прямое как кривое (кривая первого порядка с бесконечно малой кривизной). О, метафизика! [Этот абзац написан позже на полях.] (Энгельс, Диалектика природы, стр. 31 — 32, 1932 г.)
<p>Взаимопроникновение арифметических действий</p>Из области математики. Ничто, кажется, не покоится на такой непоколебимой основе, как различие между четырьмя арифметическими действиями, являющимися элементами всей математики. И, однако, умножение является сокращенным сложением, деление — сокращенным вычитанием определенного количества одинаковых чисел, а в известном случае — если делитель есть дробь — деление заменяется умножением на обратную дробь. В алгебре идут еще дальше этого. Каждое вычитание (a-b) можно рассматривать как сложение (-b+a), каждое деление a / b как умножение a × 1 / b. При действиях со степенями идут еще дальше. Все неизменные различия способов вычисления исчезают, все можно изобразить в противоположном виде. Степень — в виде корня , корень — в виде степени . Единицу, деленную на степень или на корень, — в виде степени знаменателя .
Умножение или деление степеней какой-нибудь величины превращается в сложение или вычитание их показателей. Каждое число можно рассматривать и представить в виде степени всякого другого числа (логарифмы, ). И это превращение из одной формы в другую, противоположную, вовсе не праздная игра, — это один из самых могучих рычагов математического знания, без которого в настоящее время нельзя произвести ни одного сколько-нибудь сложного вычисления. Достаточно только вычеркнуть из математики отрицательные и дробные степени, чтобы убедиться, что без них далеко не уйдешь.
(- × - = +, - / - = +, и т. д. раньше развить).
Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, зачатки которого вскоре были заложены и которое было в целом завершено, а не открыто, Ньютоном и Лейбницем [Этот абзац написан позже на полях.]. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 30 — 31, 1932 г.)
Тожество и различие. Диалектическое отношение их имеется уже в дифференциальном исчислении, где бесконечно мало, но в то же время действенно и производит все. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 30, 1932 г.)
<p>Отрицательные и положительные величины</p>
