Открытие на заре XX столетия парадокса Рассела, таящегося в самом сердце логики и математики, пошатнуло сами основания этих наук. Теперь ни одно доказательство нельзя было признать безусловно достоверным, ни одну теорию невозможно было убедительно обосновать. Нет, конечно, с чисто практической точки зрения в математике мало что изменилось: 2 + 2 по-прежнему равнялось 4, а утверждение, что 2 + 2 = 5, как и раньше, оставалось ложным. Тревогу вызывал тот факт, что теперь не было никакой возможности доказать эти утверждения. Да что там дважды два – вообще ничего в математике больше невозможно было доказать. Уж на что нерушимой твердыней казалась теория множеств, разработанная – в той форме, что существовала в поздние викторианские времена, – такими учеными, как Георг Кантор и Рихард Дедекинд (о которых мы еще поговорим в десятой главе, посвященной бесконечности), Давид Гильберт (с ним мы впервые встретились в первой главе, а потом еще раз в пятой, когда обсуждали машину Тьюринга) и Фреге, – и та трещала по швам. Крушение наивной теории множеств началось с парадокса о трансфинитных порядковых числах, известного как парадокс Бурали-Форти, хотя первым, кто осознал его тревожные последствия для теории около 1896 года, был Кантор. После того как Рассел окончательно добил ее своим парадоксом, математикам стало ясно: придется либо отступить от веры в доказательство, либо найти альтернативу наивной теории. Поскольку первое было совершенно немыслимо, нужно было каким-то образом с нуля выстроить всю теорию множеств заново, причем так, чтобы с самого начала исключить малейшее подозрение даже на возможность парадокса.
Решение заключалось в разработке так называемых формальных систем. В отличие от наивной теории множеств, выросшей из предпосылок, основанных на здравом смысле, и правил, сформулированных на естественном, неформализованном языке, новый подход требовал исходно определить конкретный набор аксиом. Аксиома – это утверждение или положение, имеющее точную формулировку и изначально принимаемое истинным. У каждой системы может быть свой набор аксиом, каждый автор вправе выбрать для создаваемых систем свои. Но после того, как набор аксиом той или иной формальной системы определен, любые утверждения, которые в рамках этой системы могут характеризоваться как истинные или ложные, должны строиться только из этих изначальных положений. Ключ к успеху любой формальной системы – в тщательном отборе аксиом: они не должны оставлять ни малейшей лазейки для коварных непрошеных гостей вроде парадокса лжеца.
Иногда парадоксом называют то, что на самом деле им не является: всего лишь истинное утверждение, в которое трудно поверить, или, наоборот, ложное, которое кажется очевидным. Классический пример: парадокс Банаха – Тарского. Он гласит, что можно взять шар, разрезать его на конечное число частей и составить из них два шара, каждый из которых будет того же объема, что и первый. Кажется безумием, поэтому сразу оговоримся, что речь здесь идет не о реальном шаре, остром ноже и тюбике суперклея. И пусть вас не беспокоит, что какой-нибудь предприимчивый делец сможет разрубить на части золотой слиток, а потом собрать из них два новых такого же размера. Парадокс Банаха – Тарского не сообщает нам ничего нового об окружающем мире, зато очень много – о том, как знакомые понятия “объем”, “пространство” и другие могут принимать совершенно незнакомое обличье в абстрактном мире математики.
Польские математики Стефан Банах и Альфред Тарский объявили о своем сенсационном выводе в 1924 году. Он был основан на более ранних работах итальянского математика Джузеппе Витали, доказавшего, что возможно разрезать единичный отрезок (то есть отрезок прямой от 0 до 1) на счетное количество частей и поменять их местами так, чтобы получился отрезок длины 2. Парадокс Банаха – Тарского, который также называют парадоксом удвоения шара (хотя на самом деле это вовсе не парадокс, а доказанная теорема), заостряет внимание на том факте, что в бесконечном множестве точек, составляющих математический шар, понятия объема и меры не могут быть определены для всех возможных подмножеств. Суть в том, что величины, которые можно измерить обычными способами, не обязательно сохраняются, когда шар сначала разбивают на подмножества, а потом эти подмножества снова собирают, но по-другому, используя только параллельные переносы (сдвиги) и вращение (повороты). Эти неизмеримые подмножества невероятно сложны, не имеют четких границ и объема в привычном нам смысле и попросту недостижимы в реальном мире, состоящем из вещества и энергии. Да и потом, парадокс Банаха – Тарского не описывает,
Парадоксы бывают самые разные. Какие-то из них – на самом деле просто наши собственные логические ошибки. Другие поднимают интересные вопросы об очевидных, казалось бы, вещах. А есть и такие, что могут угрожать существованию целой области математики, но зато дают возможность перестроить ее на более прочном фундаменте.
