Понятие потенциальной бесконечности усыпляет нашу бдительность, заставляя думать, что к бесконечности можно подобраться поближе – нужно лишь зайти подальше или идти подольше. А отсюда уже недалеко и до распространенного мифа о том, что бесконечность – это лишь что-то вроде очень большого числа и триллион или, скажем, триллион триллионов триллионов уже как-то ближе к бесконечности, чем, допустим, десять или тысяча. На самом деле все не так. Сколько ни двигайся по числовой оси, до какого числа ни считай,
Немецкий математик Давид Гильберт эффектно проиллюстрировал, насколько причудливой может быть арифметика бесконечного. Читая лекцию в 1924 году, он предложил слушателям представить себе отель с бесконечным количеством номеров. В обычном отеле с конечным числом комнат, когда все номера заняты, нового посетителя встречает табличка “Мест нет”. В “Гранд-отеле Гильберта” все по-другому. Если переселить гостя, занимающего первый номер, во второй, гостя из второго номера в третий и так далее, то в освободившемся первом номере можно будет разместить одного нового постояльца. Да что там одного! Можно освободить сколько угодно мест для бесконечного числа новых клиентов – стоит лишь переселить гостей из номеров 1, 2, 3 и так далее в номера 2, 4, 6 и дальше, таким образом освободив все нечетные номера. Процесс можно продолжать сколь угодно долго, так что, даже если в отель вдруг прибудет бесконечное количество автобусов, а в каждом из них бесконечное количество новых гостей, отказывать в размещении не придется никому. Такие экзерсисы могут показаться издевательством над нашей интуицией, но это потому, что наша интуиция просто не привыкла иметь дело с бесконечно большим. Дело в том, что свойства бесконечного множества объектов отличаются от свойств обычного, конечного множества, подобно тому как, например, в науке объекты на квантовом уровне ведут себя иначе, чем те, что окружают нас в повседневной жизни. В случае с отелем Гильберта утверждения “во всех номерах есть постояльцы” и “мы готовы принять новых гостей” не являются взаимоисключающими.
В такой вот диковинный мир мы попадаем, если принимаем реальность существования множеств чисел с бесконечным количеством элементов. Именно этот решающий вопрос стоял перед математиками в конце XIX века: готовы ли они принять существование актуальной бесконечности как числа? Большинство продолжало придерживаться точки зрения Аристотеля и Гаусса и отрицало такую возможность. Но некоторые, в том числе немецкий математик Рихард Дедекинд, а более всех его соотечественник Георг Кантор, понимали, что пришло время подвести под понятие бесконечных множеств прочную логическую базу.
Став первопроходцем в странном и тревожном мире бесконечного, Кантор столкнулся с ожесточенным сопротивлением и глумлением со стороны многих из своих современников (что прискорбнее всего, среди них оказался и его наставник и учитель Леопольд Кронекер), потерял работу в Берлинском университете и нажил себе душевную болезнь. В зрелом и пожилом возрасте он периодически оказывался в психиатрических лечебницах, терзался вопросом об авторстве пьес Шекспира и предавался раздумьям о философском и даже религиозном значении своих математических идей. Но несмотря на то, что умер он, оставленный всеми, в 1918 году в психиатрической лечебнице в стране, все еще находящейся в состоянии войны, сегодня его помнят за фундаментальный вклад в развитие теории множеств и в наше осмысление бесконечного.
