В 1930-х годах ученый-логик австрийского происхождения Курт Гёдель доказал, что континуум-гипотезу невозможно опровергнуть исходя из стандартных аксиом теории множеств. Для этого он построил систему, состоящую из однозначно определенных множеств, – “конструктивный универсум” – и доказал, что все аксиомы внутри нее выполняются, а континуум-гипотеза истинна (хотя из этого и не следует, что конструктивный универсум – единственная такая система). Три десятилетия спустя американский математик Пол Коэн доказал, что и подтвердить истинность континуум-гипотезы в той же системе аксиом тоже невозможно. Иными словами, в рамках привычной для математиков системы эта гипотеза имела неопределенный статус. Возможность возникновения подобной ситуации была предсказана еще в знаменитой теореме Гёделя о неполноте, о которой мы говорили в пятой главе. Она гласит, что в любой достаточно сложной системе аксиом, если она полна, существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть (мы еще поговорим об этом подробнее, когда вернемся к теореме о неполноте в последней главе). И тем не менее факт независимости континуум-гипотезы заставил математиков понервничать, поскольку то был первый конкретный пример, когда важный для науки вопрос невозможно было разрешить, пользуясь общепринятой системой аксиом, на которой построена вся математика.
Споры о том, верна ли континуум-гипотеза и даже есть ли в ней вообще смысл, не утихают среди математиков и философов до сих пор. Что же касается характера различных видов бесконечности, да и самого существования бесконечных множеств, здесь все зависит от того, какой теорией чисел пользоваться. Разные аксиомы и правила дают разные ответы на вопрос “Что же лежит за пределами всех целых чисел?”. Из-за этого довольно трудно, а то и просто бессмысленно сравнивать различные виды бесконечности и пытаться определить их относительный размер, хотя в пределах конкретной системы чисел бесконечности обычно можно без труда расположить в четком порядке.
За пределами алеф-нуля существует внушительная иерархия кардинальных чисел. Если предположить, что континуум-гипотеза верна (а с этим предположением по умолчанию согласны большинство математиков, поскольку из него можно вывести полезные следствия), то следующим по величине бесконечным кардинальным числом будет алеф-один, равный мощности множества всех действительных чисел, или, иначе говоря, общему количеству возможных способов, какими можно упорядочить элементы множества мощностью алеф-ноль. За ним следует алеф-два (равный числу способов упорядочить элементы множества мощностью алеф-один), затем алеф-три, алеф-четыре и так далее, без конца. Каждому алефу соответствует бесконечное число ординалов, наименьший из которых для алеф-нуля – ω, для алефа-один – ω1, для алефа-два – ω2 и так дальше. Хотя число алефов бесконечно и каждый следующий бесконечно больше предыдущего, это не мешает математикам задумываться о кардинальных числах, величина которых превосходит величину любого мыслимого алефа. Для этого они вынуждены выходить за пределы привычных теоретических основ своей дисциплины и прибегать к так называемым аксиомам форсинга. Метод форсинга (или вынуждения) был впервые применен уже упоминавшимся выше Полом Коэном. Его использование привело к возникновению понятия “больших кардинальных чисел”. Несмотря на скромное название, в реальности они чудовищно велики. Некоторые из них даже имеют собственные имена, такие как кардиналы Мало или сверхкомпактные кардиналы.
