Отметим, что у каждого математического доказательства есть двоякое «экзистенциальное оправдание». С одной стороны, оно касается внутренних отношений между элементами. Из этих отношений должно быть исключено отношение «несовместимости». Критерии, удостоверяющие только, что данное доказательство сконструировано правильно, еще не предопределяют его истинности. Ведь правильных, то есть непротиворечивых доказательств можно создать бесконечное множество, но огромное их большинство для математика будет «лишено ценности», потому что они банальны, тривиальны и несущественны. По вопросу о ценности того или иного доказательства решающими являются прежде всего его внешние отношения, касающиеся не реального мира как такового, а других математических доказательств, которые образуют его «системный фон». Эти отношения и выносят приговор: «ценно» ли в какой-то мере данное доказательство, или даже содержит некое «откровение», либо же ничего этого нет.
Элементы, выступающие в математике, это наименования, часто взятые из обычного языка и эмпирической действительности: «множество», «группа», «шар». Когда-то элементам и операторам давали только имена, отражавшие на языковом уровне то, что можно встретить в реальном мире: существуют же действительные шары, действительные множества или группы (предметов). Со временем операторы перестали зависеть от их эмпирически наблюдаемых источников, и сходный процесс коснулся и названий элементов. Направление перемен в обоих случаях было одно и то же в том смысле, что происходил все больший отрыв имен элементов и операторов от их «бытийного корня», уходящего в эмпирический мир. Вместе с тем достигались и продолжают достигаться все более высокие степени абстракции. Когда абстракции превращаются в обобщения уже чрезвычайно высокого уровня, в различных отраслях математики (например, в алгебре и топологии; в алгебре и геометрии) начинают — часто неожиданно — обнаруживаться случаи подобия элементов и операторов, в итоге и отношений между теми и другими. Ранее, то есть в историческом развитии математики, эти разные отрасли математики, как казалось, друг на друга совсем не похожи и отнюдь не могут быть друг к другу сведены. Благодаря всему этому процессу открываются некоторые системные законы математики как целостности более высокого (по отношению к ее отраслям и отдельным областям) порядка. Как видно из сказанного, состояние отделенности — хотя бы и радикальной — от мира ни в коей мере не означает для системы, что производимые в ней дедукции являются чисто произвольными. Правда, между множеством элементов и множеством операторов существуют отношения, которым уже нет обоснования в реальном мире, но их обоснование можно найти в математике, если брать ее как целостное здание, в «системном фоне» каждого отдельного доказательства и взятых вместе их всех.
