Углубимся немного в историю теории турбулентности: эта теория включает в себя совокупность гипотез, на основании которых были получены зависимости между основными параметрами ui,τ турбулентного движения потока.
У разных исследователей к этому вопросу были разные подходы. Среди них немецкий ученый Л. Прандтль, советский ученый Л. Ландау и многие другие.
Если до начала XX в. ламинарный слой, по мнению ученых, представлял собой некоторый мертвый слой, в переходе к которому (или от которого) происходит как бы разрыв скоростей, то есть скорость меняется скачкообразно, то в современной гидравлике совсем другая точка зрения.
Поток – это «живое» явление: все переходные процессы в нем носят непрерывный характер.
Современной гидродинамике удалось разрешить эти проблемы, применив метод статистического анализа. Основным орудием этого метода является то, что исследователь выходит за рамки традиционных подходов и применяет для анализа некие средние по времени характеристики потока.
Усредненная скорость
Ясно, что в любой точке живого сечения любую мгновенную скорость и можно разложить на ux, uy, uz компоненты.
Мгновенная скорость определяется по формуле:
Полученную скорость можно назвать скоростью, усредненной по времени, или средней местной эта скорость ux – фиктивно постоянная и позволяет судить о характеристике потока.
Вычислив uy,ux можно получить вектор усредненной скорости
Касательные напряжения τ = τ + τ ,
определим и суммарное значение касательного напряжения τ. Поскольку это напряжение возникает из-за наличия сил внутреннего трения, то жидкость считают ньютоновой.
Если предположить, что площадь соприкосновения – единичная, то сила сопротивления
где μ – динамическая вязкость жидкости;
dυ/dy – изменение скорости. Эту величину часто называют градиентом скорости, или скоростью сдвига.
В настоящее время руководствуются выражением, полученным в вышеупомянутом уравнении Прандтля:
где ρ– плотность жидкости;
l– длина пути, на котором рассматривается движение.
Без вывода приводим окончательную формулу для пульсационной «добавки» касательного напряжения:
Неизвестный вид зависимости определяется по методу размерностей. Для этого существует π-теорема: если некоторая физическая закономерность выражена уравнением, содержащим к размерных величин, причем оно содержит п величин с независимой размерностью, то это уравнение может быть преобразовано в уравнение, содержащее (к-п) независимых, но уже безразмерных комплексов.
Для чего определимся: от чего зависят потери напора при установившемся движении в поле сил тяжести.
Эти параметры.
1. Геометрические размеры потока:
1) характерные размеры живого сечения l1l2;
2) длина рассматриваемого участка l;
3) углы, которыми завершается живое сечение;
4) свойства шероховатости: Δ– высота выступа и lΔ – характер продольного размера выступа шероховатости.
2. Физические свойства:
1) ρ – плотность;
2) μ – динамическая вязкость жидкости;
3) δ – сила поверхностного натяжения;
4) Еж – модуль упругости.
3. Степень интенсивности турбулентности, характеристикой которой является среднеквадратичное значение пульсационных составляющих δu.
Теперь применим π-теорему.
Исходя из приведенных выше параметров, у нас набирается 10 различных величин:
l, l2, Δ, lΔ, Δp, μ, δ, Eж,δu, t.
Кроме этих, имеем еще три независимых параметра: l1, ρ, υ. Добавим еще ускорение падения g.
Всего имеем к = 14 размерных величин, три из которых независимы.
Требуется получить (ккп) безразмерных комплексов, или, как их называют π-членов.
Для этого любой параметр из 11, который не входил бы в состав независимых параметров (в данном случае l1, ρ, υ), обозначим как Ni, теперь можно определить безразмерный комплекс, который является характеристикой этого параметра Ni, то есть i-тый π-член:
Здесь углы размерности базовых величин:
общий вид зависимости для всех 14 параметров имеет вид:
При ламинарном движении (если оно равномерное) ни живое сечение, ни средняя скорость, ни эпюра скоростей по длине не меняются со временем.
При равномерном движении пьезометрический уклон
где l1– длина потока;
hl– потери напора на длине L;
r0d – соответственно радиус и диаметр трубы.
В формуле (2) безразмерный коэффициент λ называют коэффициентом гидравлического трения или коэффициентом Дарси.
Если в (2) d заменить на гидравлический радиус, то следует
Введем обозначение
тогда с учетом того, что
гидравлический уклон
Эту формулу называют формулой Шези.
называется коэффициентом Шези.
Если коэффициент Дарси λ – величина безразмерр
ная, то коэффициент Шези с имеет размерность
Определимся с расходом потока с участием коэфф
фициента Шези:
