NP-полные задачи встречаются очень часто. И было бы полезно, если бы вы могли понять, что решаемая задача является NP-полной. В этот момент можно прекратить поиски идеального решения и перейти к решению с применением приближенного алгоритма. Но определить, является ли ваша задача NP-полной, непросто. Обычно различия между легко решаемыми и NP-полными задачами весьма незначительны. Например, в предыдущих главах я много говорил о кратчайших путях. Вы знаете, как вычислить кратчайший путь из точки A в точку B.
Но если вы хотите найти кратчайший путь, соединяющий несколько точек, то это уже задача о коммивояжере, которая является NP-полной. Короче говоря, не существует простого способа определить, является ли задача, с которой вы работаете, NP-полной. Несколько характерных признаков:
• ваш алгоритм быстро работает при малом количестве элементов, но сильно замедляется при увеличении их числа;
• формулировка «все комбинации X» часто указывает на NP-полноту задачи;
• вам приходится вычислять все возможные варианты X, потому что задачу невозможно разбить на меньшие подзадачи? Такая задача может оказаться NP-полной;
• если в задаче встречается некоторая последовательность (например, последовательность городов, как в задаче о коммивояжере) и задача не имеет простого решения, она может оказаться NP-полной;
• если в задаче встречается некоторое множество (например, множество радиостанций) и задача не имеет простого решения, она может оказаться NP-полной;
• можно ли переформулировать задачу в условиях задачи покрытия множества или задачи о коммивояжере? В таком случае ваша задача определенно является NP-полной.
8.6 Почтальон должен доставить письма в 20 домов. Ему нужно найти кратчайший путь, проходящий через все 20 домов. Является ли эта задача NP-полной?
8.7 Имеется задача поиска максимальной
8.8 Вы рисуете карту США, на которой два соседних штата не могут быть окрашены в одинаковый цвет. Требуется найти минимальное количество цветов, при котором любые два соседних штата будут окрашены в разные цвета. Является ли эта задача NP-полной?
• Жадные алгоритмы стремятся к локальной оптимизации в расчете на то, что в итоге будет достигнут глобальный оптимум.
• У NP-полных задач не существует известных быстрых решений.
• Если у вас имеется NP-полная задача, лучше всего воспользоваться приближенным алгоритмом.
• Жадные алгоритмы легко реализуются и быстро выполняются, поэтому из них получаются хорошие приближенные алгоритмы.
В этой главе
• Вы освоите динамическое программирование — метод решения сложных задач, разбиваемых на подзадачи, которые решаются в первую очередь.
• Рассматриваются примеры, которые научат вас искать решения новых задач, основанные на методе динамического программирования.
Вернемся к задаче о рюкзаке из главы 8. У вас есть рюкзак, в котором можно унести товары общим весом до 4 фунтов.
Есть три предмета, которые можно уложить в рюкзак.
Какие предметы следует положить в рюкзак, чтобы стоимость добычи была максимальной?
Простое решение
Простой алгоритм выглядит так: вы перебираете все возможные множества товаров и находите множество с максимальной стоимостью.
Такое решение работает, но очень медленно. Для 3 предметов приходится обработать 8 возможных множеств, для 4 — 16 и т.д. С каждым добавляемым предметом количество множеств удваивается! Этот алгоритм выполняется за время
Для любого сколько-нибудь значительного количества предметов это неприемлемо. В главе 8 вы видели, как вычисляются
Как же вычислить оптимальное решение?
Динамическое программирование
В задаче о рюкзаке начать следует с решения задачи для меньшего рюкзака (или «подрюкзака»), а потом на этой основе попытаться решить исходную задачу.
Для начала я покажу вам алгоритм в действии. После этого у вас наверняка появится много вопросов! Я постараюсь ответить на них.
