Институты и путь к современной экономике полностью

ПРИЛОЖЕНИЕ III.1

Доказательство теоремы III.1

При данных h_с и h_h, чтобы показать, что честная игра оптимальна для агента, достаточно показать, что он не может выиграть, мошенничая в течение одного периода, если предложена W*.

Соответственно пусть V_h обозначает текущую ценность ожидаемой в продолжении всей жизни полезности нанятого агента, который, будучи нанятым, играет честно, V_h^u – ожидаемую в течение всей жизни полезность ненанятого честного агента, а V_c^u – ожидаемую в течение всей жизни полезность ненанятого мошенника (который будет играть честно в будущем, если его наймут).

Отметим, что два последних выражения принимают в расчет только доход от следующего периода и всех идущих за ним (т. е. первый период незанятости). Эти ожидаемые в течение всей жизни полезности представляются так:

V_h = W* + δ(1 – т) V_h + tV_h^u, V_i^u = δh_iV_h + δ(1 – h_i)(w̅ + δV_i^u)i = h, c.

Мошенничество однократно дает α + V_c^u. Следовательно, агент не смошенничает, если V_h > α + V_c^u. Замена и перестановка терминов показывает, что наилучшим ответом агента является честная игра, если и только если W ≥ (T − δτH_h)[α /(1 − δH_c) + δw̅(Pc/(1 − δH_c) − τP_h)] = W *, где T = 1 − δ (1 − τ); H_i = h_i /(1 − δ²(1 − h_i)), i = h, c; P_i = (1 − h_i)/(1 − δ² (1 − h_i)), i = h, c. Свойства w можно напрямую вывести из этого выражения, используя тот факт, что h_c ≤ h_h. Что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы III.2

В условиях многосторонней стратегии наказания вероятность того, что агент, смошенничавший хотя бы раз, будет снова нанят, если он мошенничал или был честным в данный период и стал безработным, составляет h_c^c = h_c^h = 0. Те же самые вероятности в случае агента, который никогда не мошенничал, равны h_c^h = 0 и h_h^h = τM/(A − (1 − τ)M) > 0. Оптимальной оплатой для мошенника является W * = w(., h_h^c= 0, h_c^c = 0), а оптимальная оплата честного агента составляет W_h* = w(., h_h^c > 0, h_c^c = 0).

Следовательно, поскольку h_c ≤ h_h для мошенников и честных агентов, теорема III.2 предполагает, что W_c*> W_h*. Что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы III.3

Зададим пределы W *, когда δ стремится к 1, и будем использовать тот факт, что h_c = h_h = τ M/(A − (1 − τ)M) при двусторонней стратегии наказания и h_c = 0, а h_h = τM/(A − (1 − τ) M) при многосторонней стратегии наказания. Используя отношения между W^* и соответствующими параметрами, определенными в теореме III.1, мы получаем соответствующие пределы. Что и требовалось доказать.