I. При упрощающем предположении, что каждый уровень представляет комбинацию некоторого числа величин, принимающих почти равноотстоящие значения, можно просто рассчитать плотность уровней ядра для высоких возбуждений. Обозначим через p(n) число возможных способов представления целого числа в виде суммы меньших положительных целых чисел. Для p(n) была выведена Г. Харди и С. Рамануджаном 2 асимптотическая формула, на которую нам недавно было указано. Для больших значений n эту формулу можно приближённо написать в виде
p(n)
~
1
43n
e
2n/3
Возьмём за единицу значение энергии, равное
2·105
2 G. N. Hardy, S. Ramanujan. Proc. London. Math. Soc., 1918, XIII, 75.
1
Точное значение
p(40)
равно 37 338. —
II. Более точное теоретическое рассмотрение характерных черт распределения уровней в ядре было дано Бете 2 (см. также А). На основании общих теорем статистической механики, дающих связь между энтропией термодинамической системы и средней энергией, Бете произвел оценку плотности уровней энергии сильно возбуждённого ядра для двух различных упрощённых моделей возбуждения ядра. В первой модели ради простоты совершенно не принимается во внимание связь между движениями отдельных частиц в ядре, а энергия возбуждения сравнивается с энергией так называемого Ферми-газа при низких температурах. Во второй модели связь предполагается сильной, но вся энергия возбуждения приписывается капиллярным колебаниям ядерной материи (колебаниям того же типа, как упомянутые выше в тексте). Хотя действительные условия в ядре не воспроизводятся правильным образом ни в одной из этих моделей, вычисления Бете весьма интересны. Они дают поучительные примеры того, каким именно образом типичный характер схемы ядерных уровней получается из представления, что энергия возбуждения распределена между ядерными частицами так, как соответствовало бы тепловому равновесию.
2 Н. В'ethе. Phys. Rev., 1936, 50, 352.
Дальнейшие интересные результаты по этой проблеме были получены Вайскопфом 3. Здесь без каких-либо специальных предположений относительно природы возбуждения ядра была вычислена термодинамическим путём плотность уровней ядра в предположении, что среднее значение энергии возбуждения для тяжёлого ядра пропорционально квадрату ого абсолютной температуры. Это условие (которое выполняется и в первом из двух частных случаев, рассмотренных Бете) в действительности означает, что собственные колебания в ядрах обладают почти равноотстоящими значениями энергии. Поэтому интересно отметить, что формулы для плотности ядерных уровней, полученные из термодинамических аналогий, практически совпадают, по крайней мере в отношении экспоненциальной зависимости от полной энергии возбуждения ядра, с выражением для p(n) из добавления I, если под числом n понимать меру полной энергии, выраженную через разности энергий между низшими уровнями, принятые за единицу.
3 W. Weisskopf. Phys. Rev., 1937, 52, 295; Sov. Phys., 1937, 11, 556.
III. Вопрос о природе возбуждения ядра связан с большими трудностями, проистекающими не только от недостаточности наших сведений о специфических ядерных силах, но и от сложного характера соответствующей квантовой задачи. Поэтому цель наших простых замечаний в тексте состоит прежде всего в обсуждении некоторых возможностей упрощённого полуэмпирического подхода. В этом отношении наличие квазиупругих колебаний ядра подсказывается соображениями, основанными непосредственно на принципе соответствия; однако весьма сомнительно, чтобы подобные рассуждения были законны в применении к аналогии между возбуждением ядра и капиллярными колебаниями. В самом деле, с этой аналогией связано уподобление ядра невязкой жидкости, которое едва ли является обоснованным ввиду сильной связи между движениями отдельных частиц в ядре. Кроме того, как любезно указал проф. Пайерлс на недавней дискуссии в Копенгагене, подобное уподобление заставило бы нас рассматривать и другие типы ядерных движений, что, в частности, было бы несовместимо с упомянутым в тексте уподоблением вращательного движения ядра вращательному движению твердого тела.