Хаос и структура полностью

В старые наивные времена, до Коши, появлялась мысль, что дифференциал есть просто нуль. Так рассуждал ни больше и ни меньше как великий Эйлер. Но как же это может быть? Ведь если всерьез принимать дифференциал за нуль, то дифференциальное частное было бы А это сами математики считают неопределенностью. Куда же делась бы в таком случае производная? Ведь производная связана не с нулями, а с приближением функции и аргумента к нулю. А это огромная разница. Если мы дифференциал объявим нулем, а потом будем вместе с математиками «раскрывать неопределенность» этого подставляя вместо нулей бесконечно умаляющиеся наращения, то это типичнейшее idem per idem[208]. Правда, сам Эйлер в этой теории нетверд и кое–где рассматривает дифференциалы вовсе не как нули, а как бесконечно–малые приращения.

Однако даже и мнение Эйлера я бы не отбросил целиком.

Рациональное зерно его заключается в том, что при рассмотрении в условиях уже готовой производной (а только при этих условиях и возникает речь о дифференциале) мы получаем эти dy и dx отнюдь не в качестве только стремления к нулю. Стремление к нулю и переход всего этого отношения к пределу необходимы для того, чтобы только впервые получить производную. Но теперь мы не нуждаемся в этом получении и производная у нас уже имеется (причем совершенно неважно, какими именно средствами она получена). Что же такое dyndxB такой ситуации? Если производная сейчас уже не есть переход к пределу, то и dy, dx не есть переход к пределу. И если производная сейчас толкуется как уже готовый предел, то и dy, dx должны быть тоже готовыми пределами. Но ведь их предел был нуль. Значит, в каком–то смысле и dy и dx стали нулями. Предел уже не вне их и не притягивает их из бесконечности, но всосался в них самих, растворился в них самих, стал едино с этим бесконечным процессом, подобно тому как и производную мы теперь рассматриваем в качестве уже готового предела, уже достигнутого, уже охватившего всю бесконечность стремящихся к нему приближений. Ясно, стало быть, что дифференциал в известном смысле обязательно есть нуль.

Итак, дифференциал не есть ни конечная величина, ни бесконечная, ни самый процесс становления конечности или бесконечности, ни нуль. Что же это такое? Кроме того, элементы конечности, элементы бесконечности, элементы становления и даже нуля, несомненно, наличны в понятии дифференциала. И все–таки он не есть ни одно из этих определений. И напрасно математики старались и стараются такими способами понять категорию дифференциала, столь ясную и понятную формально–математически. Необходимо какое–то объединение всех этих четырех моментов, чтобы получить ясный логический смысл дифференциала. Но что же это за объединение?

3. Дифференциал функции есть функция двух переменных — производной от данной функции и произвольного приращения аргумента. Что это значит?