Обозначим через 𝑝(ν,ν')𝑑ν вероятность того, что элементарный объём, поглотив фотоны частоты ν', излучает после этого фотоны в интервале частот от ν до ν+𝑑ν. Функция 𝑝(ν,ν') определяется перечисленными причинами и, вообще говоря, весьма сложна (см., например, [6]).
Мы сейчас не будем заниматься подробным рассмотрением функции 𝑝(ν,ν'), а отметим лишь два частных случая. Допустим сначала, что эффекты давления не играют роли, т.е. функция 𝑝(ν,ν') обусловлена только естественной размытостью уровней (иными словами, затуханием излучения) и тепловым движением атомов. В этом случае для резонансной линии была получена следующая формула, определяющая 𝑝(ν,ν'):
𝑝(ν,ν')
σ
ν'
=
𝑛𝑘₀
πΔν𝐷
∞
∫
0
exp
⎛
⎝
-(𝑦+𝑟)²
⎞
⎠
×
×
⎡
⎢
⎣
arctg
𝑦+𝑠
𝑎
+
arctg
𝑦-𝑠
𝑎
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑦
,
(11.1)
где
𝑠
=
𝑢+𝑢'
2
,
𝑟
=
|𝑢+𝑢'|
2
,
(11.2)
σν — объёмный коэффициент поглощения, равный σν=𝑛𝑘ν. Величина 𝑘ν определяется формулой (8.17), и прочие величины в (11.1) имеют такой же смысл, что и в (8.17). В точную формулу для 𝑝(ν,ν') входит также угол рассеяния. Формула (11.1) может быть получена из точной формулы путём интегрирования по углу.
В другом частном случае мы предположим, что эффекты давления оказывают основное влияние на вид функции 𝑝(ν,ν'). Если за время жизни атома в возбуждённом состоянии возмущающее поле меняется очень сильно, то можно считать, что частота излучаемого фотона ν не зависит от частоты поглощённого фотона ν'. В этом случае функция 𝑝(ν,ν'), которую мы можем обозначить просто через 𝑝ν, определяется весьма легко.
Очевидно, что функция 𝑝(ν,ν') должна удовлетворять условию
∫
𝑝(ν,ν')
𝑑ν
=
1,
(11.3)
где интегрирование производится по всем частотам. Кроме того, должно выполняться соотношение
𝑝(ν,ν')
σ
ν'
=
𝑝(ν',ν)
σ
ν
,
(11.4)
выражающее «принцип обратимости» для оптических явлений.
Если функция 𝑝(ν,ν') не зависит от ν', то из (11.4) следует, что 𝑝ν=𝑐σν, где 𝑐 — постоянная. Определяя 𝑐 из формулы (11.3), получаем
𝑝
ν
=
σν
∫σν'𝑑ν'
.
(11.5)
Мы будем говорить, что в данном случае происходит полное перераспределение излучения по частотам при элементарном акте рассеяния. Такое рассеяние излучения будем называть полностью некогерентным.
Приведённые формулы для функции 𝑝(ν,ν') соответствуют разным значениям давления: при малых давлениях следует пользоваться формулой (11-1), при больших — формулой (11.5). Очевидно, что при изучении диффузии излучения в газовых туманностях должна применяться формула (11.1). В случае же звёздных атмосфер можно, по-видимому, пользоваться формулой (11.5). Однако и в случае туманностей обычно делается предположение о полном перераспределении излучения по частотам, так как некоторые вычисления показали, что замена формулы (11.1) на (11.5) не приводит к большим различиям в результатах.
Используя функцию 𝑝(ν,ν'), мы можем написать выражение для коэффициента излучения εν. Если считать, что в линии происходит чистое рассеяние излучения, то имеем
ε
ν
=
∫
𝑝(ν,ν')
σ
ν'
𝑑ν'
∫
𝐼
ν'
𝑑ω
4π
.
(11.6)
При 𝑝(ν,ν')=δ(ν-ν'), где δ — функция Дирака, из (11.6) следует
ε
ν
=
σ
ν
∫
𝐼
ν
𝑑ω
4π
,
(11.7)
т.е. выражение для εν в случае когерентного рассеяния излучения.
Подставляя в (11.6) выражение для 𝑝(ν,ν'), даваемое формулой (11.5), получаем
∫
σ
ν'
𝑑ν'
𝐼
ν'
𝑑ω
ε
ν
=
σ
ν
4π
.
∫
σ
ν'
𝑑ν'
(11.8)
Этой формулой определяется коэффициент излучения при полностью некогерентном рассеянии.
В дальнейшем мы будем считать, что в звёздных атмосферах происходит полностью некогерентное рассеяние излучения в спектральных линиях.
2. Уравнение переноса излучения и его решение.
