Фигура (обозначенная черными точками), которая, будучи приложенной к основной фигуре (белые точки), образует ей подобную, была названа Аристотелем
Вообще, с изучения фигурных чисел, т. е. сумм некоторого числа единиц-точек (камешков), поставленных в виде определенной фигуры, началось изучение сумм числовых рядов. Это в свою очередь позволило Архимеду (ок. 287-212 гг. до н. э.) развить методы нахождения площадей и объемов фигур и тел и вплотную подойти к созданию интегрального исчисления, появившегося, однако, лишь 2000 лет спустя.
Рассмотрение чисел привело пифагорейцев к рассмотрению отношений между ними, т. е. пропорций. Пропорция с равными средними членами определяет среднее значение. По преданию, Пифагору были известны три вида средних значений, которые называли "древними":
арифметическое среднее
геометрическое среднее
гармоническое среднее
Обратим внимание на то, что среднее гармоническое величин а, b, с есть среднее арифметическое обратных величин 1/а, 1/b, 1/с. Пропорции и средние значения пифагорейцы наполняли не только математическим, но и философским и эстетическим содержанием, объясняя с их помощью и музыкальные созвучия, и даже всю вселенную.
Однако история науки, как и сама жизнь, полна неожиданных и драматических событий: среднее геометрическое таило в себе сокрушительный удар по всей пифагорейской системе; более того, нанести этот удар пифагорейцы, истинные рыцари науки, вынуждены были сами себе. Именно пифагорейцы обнаружили, что среднее геометрическое к числам 1 и 2 (в современных обозначениях
Иррациональность отношения стороны и диагонали квадрата пифагорейцы объясняли тем, что оба этих отрезка состоят из бесчисленного множества точек и поэтому отношение сводится к отношению двух бесконечно больших целых чисел. Хотя эта мысль не выдерживает критики для геометрических объектов, находящихся в рациональных отношениях (ведь они также состоят из бесчисленного множества точек!), по отношению к иррациональным числам она является справедливой. Действительно, всякое иррациональное число можно с любой степенью точности представить в виде отношения двух целых чисел, причем чем больше будут эти числа, тем точнее их отношение будет выражать иррациональное число.
Открытие несоизмеримости (для диагонали квадрата со стороной 1 не было соответствующего числа!) опрокидывало всю философскую систему пифагорейцев, которые были убеждены, что "элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом". Это открытие долго держалось в тайне, а ученик Пифагора Гиппас из Метапонта за то, что он открыл недостойным участия в учениях природу пропорции и несоизмеримости, был изгнан из школы Пифагора. Позднее, когда Гиппас погиб во время кораблекрушения, его противники видели в этом наказание богов за разглашение тайны. Следует сказать, что пифагорейцы, не в пример иным ученым, после отчаянной борьбы против открытия, опрокидывавшего символ их "веры" признали свое поражение. Пытаясь выйти из тупика, они стали представлять величины не арифметически — числами, геометрически — отрезками. Так возникла геометрическая алгебра.
Между тем исторически именно это неосознанное открытие иррациональных чисел является наивысшим достижением пифагорейской школы; ему было суждено пережить тысячелетия и стать поворотным этапом в развитии математики, истоком современного математического анализа. С этого открытия начинается эра теоретической математики, ибо обнаружить несоизмеримые величины с помощью опыта невозможно.
Наконец, рассмотрим "музыкальную" сторону пифагорейского учения о числе. Как уже отмечалось, открытие математических закономерностей в музыкальных созвучиях послужило первым "экспериментальным" подтверждением пифагорейской философии числа. "Открытие Пифагора... было первым примером установления числовых связей в природе,- читаем мы в "Фейнмановских лекциях по физике".- Поистине должно быть было удивительно вдруг неожиданно обнаружить, что в природе есть факты, которые описываются простыми числовыми отношениями".
