Аналогичное утверждение доказано в линейной алгебре математически строго для n-мерного пространства. Алгоритм перебора вершин n-мерного выпуклого многогранника и выбора в них экстремального значения критерия оптимальности называется симплекс-метод. В разных модификациях он известен с 1940 г. Этот алгоритм также позволяет ответить и на вопросы о совместимости системы ограничений и о существовании решений либо же об отсутствии таковых. То есть работоспособность аппарата линейного программирования абстрактно-математически подтверждена уже более, чем 50 лет. А “слоёный пространственно ориентированный торт” нам потребовался только для наглядности, предметной образности изложения, а те, кому необходимы формально-математические доказательства изложенного и практические алгоритмы решения, могут найти их в специальной литературе.
Мы записали ограничения задачи линейного программирования (ЛП) в виде:
(E - A) XK = FK і FK min,
а не как это принято при математически канонической записи задачи линейного программирования:
(E - A) XK і FK min
Дело в том, что при канонической записи задачи ограничения налагаются явно на левую часть абстрактного математического уравнения, которое по умолчанию в разсматриваемом нами случае приложения математического аппарата является уравнением межотраслевого баланса реального продуктообмена. В реальном же продуктообмене непосредственный интерес представляет выполнение FK і FK min, а не обусловленность вектора конечной продукции FK вектором валовых мощностей XK и матрицей A . Поскольку вектор FK является в нашем контексте идентификатором, уже несущим определённый экономический смысл, который может выпасть из возприятия читателя при записи ограничений в обычном для математического канона их виде (E - A) XK і FK min, то нами избрана такая форма напоминания, хотя чисто формально математически правая и левая части уравнения равноправны, а решать задачу ЛП-П придётся в канонической записи: т.е. по отношению к левой части уравнения продуктообмена.
Практически в каждой книге, в которой разсматривается линейное программирование (ЛП), излагается теория двойственности. Её смысл сводится к следующему: задаче ЛП
A x Ј b
x 0 (ЛП-1)
Найти Max(cTx)
математически объективно соответствует задача ЛП:
AT y і c
y 0 (ЛП-2)
Найти Min(bTy)
В этой паре задач любая из них может разсматриваться в качестве прямой задачи, и в таком случае вторая задача получает название двойственной. Решения прямой и двойственной задач взаимно обусловлены: т.е. по решению одной, на основании теории двойственности линейного программирования, можно судить о решении ей парной задачи.
В зависимости от характера ограничений, определяющих размерность матрицы
[178] A (количество в ней строк и столбцов), чисто алгоритмически одна из задач в паре может требовать существенно меньших объемов вычислений, что позволяет на основе теории двойственности в ряде случаев значительно сократить время решения задачи.
По отношению к ранее выписанной задаче ЛП-П, описывающей межотраслевой баланс продуктообмена в натуральном учёте, двойственная ей задача ЛП записывается так:
(E - AT) P = rЗСТ Ј r
<p>P 0 (ЛП-Р)</p>Найти Max(Y), Y = FK min 1 P1 + FK min 2 P2 +… + FK min n Pn
Это задача рентабельности (отсюда дополнительное мнемоническое обозначение «-Р»). Она описывает ценовые соотношения при спектрах производства XK и FK , поскольку связана с уравнением реальных
[179] и/либо равновесных цен, или неких абстрактных “теневых” цен (в зависимости от интерпретации в ней переменных).
В первой её строке слева от знака неравенства стоит несколько измененное уравнение равновесных цен (3): вектор долей добавленной стоимости обрёл в нём мнемонический индекс «зст», указующий на взаимную обусловленность того явления, которое принято называть «закон стоимости», и входящих в компоненты вектора долей добавленной стоимости функционально обусловленных разходов отраслей. Обычно первую строку приведённой задачи ЛП математически канонически записывают так:
(E - AT) P Ј r
В нашем случае отказ от математически канонической формы записи задачи линейного программирования обусловлен тем, что при следовании этой форме ограничения явно относятся к левой части уравнения равновесных цен, в которой отражён продуктообмен, в то время как на уровне макроэкономики интерес представляют ограничения, налагаемые на правую - чисто финансовую - часть уравнения равновесных цен, в которой натуральные показатели продуктообмена отраслей не присутствуют ни прямо, ни в их финансовом выражении.
