При этом предполагается, что осуществляется ненапряженное планирование, при котором плановые показатели, заведомо ниже предельно возможных (наивысших, достижимых при полной загрузке всех мощностей), что представляет собой условие обеспеченности ресурсами и мощностями варианта плана, избранного для выполнения. Такого рода плановая недогруженность производственных мощностей идет в запас устойчивости плана[138] при его осуществлении. Иными словами, избранный план не “планка рекордной высоты”, через которую экономика в “социалистическом соревновании” должна “перепрыгнуть” на пределе своих возможностей; избранный план — это упорядоченный набор, заведомо достижимых контрольных показателей производственно-потребительской системы, ниже которых недопустимо уронить производство ни в одной из отраслей.
Математически принцип ненапряженного может быть выражен следующим образом:
FK предельно возможное > FKП ³ FK min
Один из вариантов выбора смысла оптимальности состоит в том, что вариантный спектр производства FK ³ FK min должен достигаться при минимальных валовых производственных мощностях во всем множестве рассматриваемых отраслей XK = (XK 1 , XK 2 , ... , XK n)T. Но отраслей много, вся их продукция не‑взаимозаменяема и, чтобы найти минимум их потребных мощностей, необходимо избрать процедуру формального соизмерения объективно несоизмеримых разнокачественностей.
Одна из таких процедур, применяемых для построения критериев оптимальности — скалярное произведение двух векторов в ортогональном базисе:
z = rT XK = (r1 , r2 , ... , rn)(XK 1 , XK 2 , ... , XK n)T =
= r1XK 1 + r2XK 2 + ... + rnXK n ,
в котором компоненты вектора r выступают как “весовые множители” при компонентах вектора XK валовых мощностей отраслей, приводя их к некой единой размерности, или лишая их размерности вообще, что позволяет в математической модели корректно складывать реальные хлеб, чугун, компьютеры, самолеты и телевизоры, производимые разными отраслями.
Ортогональность базиса — перпендикулярность друг другу любой пары координатных осей. Ортогональность базиса в задачах экономических приложений можно условно интерпретировать как полную взаимо-НЕ-заменяемость продукции в номенклатуре спектров производства XK , FK. При сделанных предположениях система ограничений, налагаемых на межотраслевой баланс, математически описывается так:
(E -A) XK = FK => FK min
XK => 0 ЛП-П
Найти Min( Z ), Z = r1XK 1 + r2XK 2 + ... + rnXK n
В терминах математики это — задача линейного программирования[139] (далее аббревиатура ЛП). Это задача продуктообмена (отсюда дополнительное мнемоническое обозначение «П»). Условие XK ³0 , хотя оно присутствует и в канонической формально-математической постановке задачи линейного программирования, имеет и экономический смысл — неотрицательности валовых производственных мощностей. В задачу могут быть введены и иные таким же способом формализованные ограничения, например: биосферно-экологические ограничения в их формализованном виде XK < XK max , FK < FK max , ограничения на численность персонала и т.п. Но они не изменяют характера используемых математических методов, если все ограничения выражены в линейных функциях, т.е. функциях типа f =Sai xi , где аi — коэффициенты, а xi — переменные,i = 1, ... , N . В такого рода системы неравенств могут входить и уравнения, так как каждое из уравнений f(x)= c эквивалентно введению в систему двух нестрогих неравенств f(x)£ c , f(x)³ c , которые оба должны удовлетворяться в решении системы.
Математический аппарат линейного программирования существует с начала 1940‑х гг. и используется в качестве средства для формализованного выбора оптимального решения в задачах управления объектами, описываемыми большим числом параметров; а также для формализованного выбора оптимального сочетания множества характеристик объектов при их проектировании и научно-техническом сопровождении осуществления проектов.
