Математическое моделирование используется в качестве способа исследования сложных систем, не поддающихся простому логическому анализу. Для предсказания возможных результатов какого-либо явления или процесса на основе имеющихся данных применяют статистические модели. Модели распределительного типа позволяют сформировать обоснованные производственные планы. Симплексным методом последовательного улучшения можно получить оптимальные параметры процесса. Имитационное моделирование позволяет не только провести исследование динамики процесса, но и исследовать процесс на устойчивость функционирования. Эти модели на практических примерах, с пошаговыми иллюстрациями и пошаговым рассмотрением представлены в данном пособии. Пособие будет полезно студентам, аспирантам, научным работникам и всем интересующимся вопросами оптимизации и моделирования.
Моделирование – это воспроизведение или имитирование существующей системы, явления или процесса с помощью модели. Математическая модель позволяет описать взаимосвязи и взаимозависимости различных, в том числе социальных и экономических систем, явлений или процессов в математической форме. Математическое моделирование включает предварительное изучение моделируемого процесса, его качественный и количественный анализ, определение основных факторов, влияющих на его показатели, определение объемов необходимых ресурсов, цели и критериев.
Массивы данных, полученные в результате практических исследований после математической обработки, дают возможность вывести числовые значения коэффициентов корреляционной зависимости вида: Yi = a1X1,i+a2X2,i …+…ajXj,i , которое называется уравнение регрессии.
Где Х это имеющиеся показатели процесса, которые влияют на определяемый показатель Y. Далее, подставляя желаемые числовые значения коэффициентов показателей X, получаем предсказание следующих значений Y.
Выпускаемое четырнадцатью предприятиями изделие (или продукция, выпускаемая в четырнадцать временных периодов) имеет шесть параметров (например, рабочая частота изделия, энергопотребление, вес…). Основной показатель S (например, производительность изделия) зависит от этих параметров. Необходимо определить корреляционную зависимость, позволяющую предсказывать величину показателя S от всех шести параметров.
Имеются исходные данные, которые были получены в результате ряда опытов или из сравнения подобных объектов. Количество опытов при этом должно быть, как минимум на один больше количества параметров объекта или процесса.
1.Занести данные на лист Excel и найти среднее значение всех факторов, позволяющее в дальнейшем использовать исследование безразмерных данных в соответствии с понятием коэффициент эластичности, позволяющего установить степень доверия к полученным результатам. Коэффициенты эластичности определяют и оценивают процентное изменение результата с увеличением или уменьшением каждого отдельного показателя на 1% при фиксированном значении остальных показателей и вычисляется как отношение среднего значения показателя к среднему значению результата.
2.Для вывода уравнения регрессии открыть и подключить (Файл, Параметры, Надстройки, Управление, перейти) надстройку Excel – пакет анализа.
3.Через меню Excel (Данные, Анализ данных) выполнить расчет и вывести итоги.
Получено достаточно высокое значение коэффициента корреляции 0,99, говорящее о том, что представленные данные хорошо описывают исследуемый процесс.
4.Вывести уравнение регрессии Y = A0 + A1 X1 + A2 X2 + …
Коэффициент уравнения А0 находится в ячейке В36, значение его 653.0, далее коэффициент А1 в ячейке В37 со значением 2.419 и так далее;
5. Проверить полученное уравнение регрессии для каждого из ряда данных. В ячейке I1, строим формулу, получаем значение параметра Y для первого опыта.
=$B$36+$B$37*A1+$B$38*B1+$B$39*C1+$B$40*D1+$B$41*E1+$B$42*F1+$B$43*G1+$B$44*H1
Не забываем фиксировать адреса ячеек коэффициентов клавишей F4 клавиатуры. Копируем результат ячейки первой строки исходной таблицы на все строки.
6.Выявить параметры, имеющие низкую значимость, используем для этого показатель t- статистика и исключаем из таблицы данных параметры, имеющие низкое < |2 | значение показателя, это переменные 1 и 5, соответствующие коэффициентам ячеек В37 и В41.
Уравнение при этом принимает вид:
=$B$36+$B$38*B1+$B$39*C1+$B$40*D1+$B$42*F1+$B$43*G1+$B$44*H1
Повторяем расчеты для обновленных данных, строим уравнение регрессии и выводим данные по каждому опыту в дополнительный столбец.
7. График зависимости показателя Y для опытов и на этом же графике интерполяционные зависимости, полученные из уравнений регрессии, если его построить, показывает совпадение расчётных данных с экспериментальными, следовательно, уравнением регрессии можно пользоваться для дальнейшего предсказания результатов.
1.Заполнить ячейки EXCEL исходными данными.
2.Найти среднее значение всех факторов Х, позволяющее в дальнейшем использовать исследование в соответствии с понятием коэффициент эластичности (меню ГЛАВНАЯ, Редактирование, Другие функции, найти =СРЗНАЧ и указать аргументом диапазон колонки чисел, затем скопировать функцию на все колонки):
3.Загрузить надстройку анализ данных (меню Данные, анализ данных, выбрать регрессия).
4.Настроить параметры в окне регрессии: входной интервал Y – указать выделением мышью диапазон Y, входной интервал Х указать выделением мышью все числовые значения Х, Параметры вывода можно оставить Новый рабочий лист или щелкнуть на свободное место текущего листа.
5.Получить коэффициенты уравнения регрессии и коэффициент корреляции.
Уравнение регрессии при этом выглядит следующим образом:
