2) Ближайшее определение – равенство считываемых чисел. Благодаря этому равенству числа эти суть единицы, и в числе появляется различие между единицей и численностью. Умножение имеет задачей сложить численность единиц, которые сами суть некая численность. При этом безразлично, какое из двух чисел принимается за единицу и какое за численность, безразлично, говорим ли мы четырежды три, где четыре есть численность, а три – единица, или, наоборот, трижды четыре. – Мы уже указали выше, что сначала находят произведение простым нумерованием, т. е. счетом на пальцах и т. д.; позднее становится возможным непосредственно указать произведение благодаря своду результатов подсчета – таблице умножения и знанию ее наизусть.
Деление есть отрицательное арифметическое действие, согласно тому же определению различия. Здесь также безразлично, делитель ли или частное принимается за единицу или за численность. Делитель принимается за единицу, а частное – за численность, когда задачей деления объявляется желание узнать, сколько раз (численность) одно число (единица) содержится в данном числе; наоборот, делитель принимается за численность, а частное – за единицу, когда говорят, что требуется разделить некоторое число на данную численность одинаковых частей и найти величину такой части (единицы).
3) Оба числа, которые определены одно относительно другого как единица и численность, как числа еще непосредственны относительно друг друга и потому вообще не равны. Дальнейшее равенство – это равенство самой единицы и численности; таким образом, продвижение к равенству определений, заключающихся в определении числа, завершено. Счет согласно этому полному равенству есть возведение в степень (отрицательное арифметическое действие [здесь] – извлечение корня) и прежде всего возведение числа в квадрат; это полная определенность нумерования внутри самого себя, где 1) прибавляющиеся многие числа суть одни и те же, и 2) само их множество или численность тождественно тому числу, которое берется многократно и служит единицей. Нет никаких иных определений в понятии числа, которые могли бы быть некоторым различием, и не может также иметь место какое-либо дальнейшее выравнивание различия, заключающегося в числе. Возведение в степени высшие, чем в квадрат, есть формальное продолжение; с одной стороны, при четных показателях, оно есть лишь повторение возведения в квадрат, а с другой – при нечетных показателях – вновь возникает неравенство, а именно при формальном равенстве (например, прежде всего в кубе) нового множителя и численности, и единице, он как единица есть нечто неравное по отношению к численности (по отношению ко второй степени, 3 – по отношению к 3х3); еще большее неравенство имеется при кубической степени четырех, где численность 3, показывающая, сколько раз число, служащее единицей, должно быть помножено само на себя, отлична от этого числа. – Эти определения имеются в себе как сущностное различие понятия, – численность и единица, и для того чтобы выхождение-вовне-себя целиком оказалось возвращением-внутрь-себя, они должны быть выравнены. В только что изложенном заключается, далее, основание, почему, с одной стороны, решение уравнений высших степеней должно состоять в приведении их к квадратным уравнениям, и почему, с другой стороны, уравнения нечетных степеней могут быть определены лишь формально, и как раз когда корни рациональны, они могут быть найдены не иначе как при помощи мнимого выражения, противоположного корням и тому, чтó они выражают. – Согласно сказанному, только арифметический квадрат содержит в себе безусловную определенность (Schlechthin-Bestimmtsein), вследствие чего уравнения дальнейших формальных степеней должны быть приведены к нему; точно так же как в геометрии прямоугольный треугольник содержит безусловную внутри-себя-определенность, выраженную в Пифагоровой теореме, и поэтому для полного определения всех прочих геометрических фигур они должны быть сведены к нему.
В преподавании, продвигающемся согласно логически построенному суждению, изложение учения о степенях предшествует изложению учения о пропорциях; последние, правда, примыкают к различию между единицей и численностью, составляющему определение второго арифметического действия, однако они выходят за пределы «одного» как непосредственного определенного количества, в котором единица и численность суть лишь моменты; дальнейшее определение по этим моментам остается для него самого также еще внешним. В отношении число уже не есть непосредственное определенное количество; последнее имеет в этом случае свою определенность как опосредствование; количественное отношение мы рассмотрим далее.
