В романе Эбботта А. Квадрат упорно отказывается верить в возможность третьего измерения, не говоря уже о реальном существовании такового, пока посетившая их мир Сфера не выталкивает его из плоского мира в трехмерное пространство. Там, где не справились логические рассуждения, помог личный опыт. Эбботт предостерегал своих читателей от чрезмерного влияния поверхностной картины мира, видимой невооруженным взглядом. Не следует полагать, что любой из возможных миров обязательно будет в точности похож на наш или, точнее, на мир, который мы наивно рисуем в своем сознании. С точки зрения классификации Бенфорда мышления, ориентированного на Вселенную или человека, мировоззрение Эбботта было сосредоточено именно на Вселенной.
Пространства, описанные во «Флатландии», подчиняются традиционной евклидовой геометрии с этой темой Эбботт столкнулся в школьные годы, и особой симпатии к ней не питал. Чтобы избавиться от этого ограничения, связанного с формой пространства, нам потребуется более общая модель, автором которой, по-видимому, был выдающийся математик Карл Фридрих Гаусс. Он вывел элегантную математическую формулу, описывающую кривизну поверхности насколько сильно она изогнута вблизи заданной точки. Эту формулу он считал одним из своих величайших открытий и называл theorema egregium, т. е. «замечательной теоремой». Замечательной ее делала одна поразительная особенность формула не зависела от способа вложения поверхности в окружающее пространство. Она отражала внутреннее свойство самой поверхности.
Возможно, этот вывод и не кажется таким уж страшно радикальным, но, тем не менее, дает понять, что пространство может иметь искривленную форму, ничего при этом не огибая. Представьте себе сферу, парящую в пространстве. В вашем воображении она имеет отчетливую кривизну. Такое восприятие кривизны естественно для человеческого воображения, но зависит от наличия окружающего пространства, в котором и будет искривляться сфера. Формула Гаусса разнесла это предположение в пух и прах: она продемонстрировала, что обнаружить кривизну сферы можно, даже не покидая ее поверхность. Окружающее пространство не имеет значения и не является той необходимой составляющей, которая придает изгибам поверхности определенное направление.
По словам его биографа, Сарториуса фон Вальтерсгаузена, Гаусс имел привычку объяснять эту идею с точки зрения муравья, движения которого ограничены данной поверхностью. Если вы муравей, то за пределами этой поверхности ничего нет. Тем не менее, вооружившись рулеткой (на самом деле Гаусс не пользовался этим инструментом, но давайте не будем прибегать к излишнему педантизму) и побродив по поверхности, муравей мог бы прийти к выводу о том, что она искривлена. Не огибает что-либо, а искривлена сама по себе.
Из школьных уроков по евклидовой геометрии мы знаем, что сумма углов в любом треугольнике составляет 180°. Эта теорема верна для плоскости, но не выполняется в случае искривленной поверхности. Скажем, на поверхности сферы можно изобразить такой треугольник: в качестве начальной точки выбрать северный полюс, затем переместиться на юг к экватору, пройти вдоль него четверть диаметра, и снова вернуться на северный полюс. Стороны треугольника это большие круги сферы, которые соответствуют кратчайшим путям на поверхности, соединяющим две заданные точки, и тем самым служат естественной аналогией прямых линий. Все три угла в таком треугольнике являются прямыми: 90°. А значит, их сумма равна 270°, а не 180°. Это вполне логично: сфера все-таки отличается от плоскости. Но этот пример наводит на мысль, что, измеряя треугольники, мы, вероятно, могли бы выяснить, что находимся не на плоскости. Именно в этом и состоит замечательная теорема Гаусса. Метрика Вселенной особое свойство расстояний, которое можно определить путем анализа формы и размеров небольших треугольников может сообщить нам точную кривизну Вселенной. Нужно просто подставить результаты измерений в формулу.
Это открытие произвело на Гаусса невероятное впечатление. Его ассистент Бернхард Риман обобщил формулу на случай пространств с произвольным числом измерений, заложив основу новой математической дисциплины, известной как дифференциальная геометрия. Однако вычисление кривизны в каждой точке пространства требует огромных усилий, и математики стали задаваться вопросом, нельзя ли получить менее подробную информацию каким-нибудь более простым способом. Они попытались ввести более простое в обращении понятие «формы».
