О науке полностью

2) Если теорема справедлива для 1 и если доказывается, что она справедлива для n + 1, когда справедлива для n, то она будет справедлива для всех целых чисел.

3) Если точка C лежит на прямой между A и B, а точка D между A и C, то точка D будет лежать между A и B.

4) Через одну точку можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Все четыре аксиомы должны быть приписаны интуиции, и однако же первая является выражением одного из правил формальной логики; вторая — настоящее синтетическое суждение à priori, это — основание строгой математической индукции; третья есть обращение к воображению; четвертая — скрытое определение.

Интуиция не основывается неизбежно на свидетельстве чувств; чувства скоро оказались бы бессильными; мы не можем, например, представить себе тысячеугольника и однако же интуитивно рассуждаем о многоугольниках вообще, а они включают в себя как частный случай и тысячеугольник.

Вам известно, что подразумевал Понселе под принципом непрерывности. То, что справедливо для действительной величины, говорил Понселе, должно быть справедливо и для мнимой; то, что справедливо для гиперболы, асимптоты которой действительны, должно быть поэтому справедливо и для эллипса, асимптоты которого мнимые. Понселе был одним из самых интуитивных умов в этом веке; он был страстным интуитивистом и чуть ли не гордился этим; он видел в принципе непрерывности одну из самых смелых своих концепций, и, однако, этот принцип не покоился на свидетельстве чувств — уподоблять гиперболу эллипсу было скорее противоречием этому свидетельству. Здесь имело место лишь какое-то поспешное инстинктивное обобщение, что, впрочем, я не хочу отстаивать.

Итак, мы имеем несколько родов интуиции; сначала обращение к чувствам и воображению; затем обобщение посредством индукции, так сказать, срисованное с приемов экспериментальных наук; наконец, мы имеем интуицию чистого числа, ту интуицию, из которой вышла вторая из только что приведенных мною аксиом и которая может дать начало настоящему математическому умозаключению.

Две первые не могут дать достоверности, выше я показал это на примерах; но кто станет серьезно сомневаться относительно третьей, кто станет сомневаться в арифметике?

В новейшем анализе, — если пожелаем взять на себя труд быть строгими, — находят место лишь силлогизмы и обращения к этой интуиции чистого числа, единственной интуиции, которая не может обмануть нас. Можно сказать, что ныне достигнута абсолютная строгость.

Философы приводят еще другое возражение: «То, что вы выигрываете в строгости, — говорят они, — вы теряете в объективности. Вы можете подняться к вашему логическому идеалу, только порвав те связи, которые соединяют вас с реальностью. Ваша наука непогрешима, но она может оставаться такою, только замыкаясь в свою раковину и запрещая себе всякое сношение с внешним миром. При малейшем же применении ей надо выходить оттуда».

Я хочу, например, доказать, что такое-то свойство принадлежит такому-то объекту, понятие которого кажется мне сначала неопределимым, потому что оно интуитивно. Я сначала затрудняюсь или бываю должен удовлетвориться приближенными доказательствами; наконец, я решаюсь дать моему объекту точное определение — то, которое позволяет мне установить это свойство безукоризненным образом.

«Что же после, — говорят философы, — ведь остается еще доказать, что отвечающий этому определению объект есть тот же самый, который открыт вам интуицией; или еще, что такой-то реальный и конкретный объект, сходство которого с вашей интуитивной идеей вы думаете узнать непосредственно, отвечает вашему новому определению. Только тогда вам будет можно утверждать, что он имеет данное свойство. Вы только переместили затруднение».

Это неточно; затруднение не перемещено, оно разделено. Предложение, которое нужно было обосновать, в действительности состояло из двух различных истин, которые не сразу были отличены друг от друга. Первая — математическая истина, и теперь она строго обоснована. Вторая — истина экспериментальная. Только опыт может научить нас, что такой-то реальный, конкретный объект отвечает или не отвечает такому-то абстрактному определению. Эта вторая истина не доказывается математически, но она и не может доказываться, точно так же, как не могут доказываться эмпирические законы физических и естественных наук. Было бы безрассудно требовать большего.

Но разве не большой шаг вперед — различить то, что долгое время неправильно смешивали?

Не значит ли это, что нужно совсем откинуть это возражение философов? Этого я не хочу сказать; сделавшись строгой, математическая наука получает искусственный характер, который поражает всех; она забывает свое историческое происхождение; видно, как вопросы могут разрешаться, но уже не видно больше, как и почему они ставятся.

Это указывает нам на то, что недостаточно одной логики; что наука доказывать не есть еще вся наука и что интуиция должна сохранить свою роль как дополнение — я сказал бы, как противовес или как противоядие логики.