О науке полностью

Если для разделения непрерывности достаточно бывает рассматривать в качестве купюр известное число элементов, отличимых друг от друга, то говорят, что эта непрерывность одного измерения; если же, напротив, для разделения непрерывности необходимо брать в качестве купюр систему элементов, которые сами образуют одну или несколько непрерывностей, то мы скажем, что эта непрерывность многих измерений.

Если для разделения непрерывности C достаточно купюр, образующих одну или несколько непрерывностей одного измерения, то мы скажем, что C есть непрерывность двух измерений; если достаточно купюр, образующих одну или несколько непрерывностей самое большее двух измерений, то мы скажем, что C есть непрерывность трех измерений, и т. д.

Чтобы оправдать это определение, надо посмотреть, так ли геометры вводят понятие трех измерений в начале своих работ. Что же мы видим? Чаще всего они начинают с определения поверхностей как пределов объемов или частей пространства, линий как пределов поверхностей, точек как пределов линий и утверждают, что тот же самый процесс не может идти дальше.

Здесь та же идея; чтобы разделить пространство, нужны купюры, которые называются поверхностями; чтобы разделить поверхности, нужны купюры, которые называются линиями: чтобы разделить линии, нужны купюры, которые называются точками; дальше идти нельзя, и точка не может быть разделена, точка не есть непрерывность; тогда линии, которые можно делить купюрами, не представляющими собой непрерывностей, будут непрерывностями одного измерения; поверхности, которые можно делить купюрами — непрерывностями одного измерения, — будут непрерывностями двух измерений; наконец, пространство, которое можно делить купюрами — непрерывностями двух измерений, — будет непрерывностью трех измерений.

Таким образом, определение, которое я только что дал, по существу не отличается от обычных определений; я только хотел сообщить ему форму, применимую не к математической непрерывности, а к физической, которая одна только доступна для представления, и вместе с тем хотел сохранить всю его точность.

Впрочем, видно, что это определение приложимо не только к пространству, что во всем том, что воспринимается нашими чувствами, мы встречаем характерные признаки физической непрерывности, что и допускает возможность одной и той же классификации; легко было бы найти примеры непрерывностей четырех, пяти измерений в смысле предыдущего определения; эти примеры возникают в уме сами собой.

Наконец, я мог бы изложить, если бы у меня было на это время, как наука, о которой я говорил выше и которую Риман назвал Analysis Situs, учит нас различать непрерывности одного и того же числа измерений и как классификация этих непрерывностей опирается по-прежнему на рассмотрение купюр.

Из этого понятия произошло понятие математической непрерывности многих измерений тем же способом, каким физическая непрерывность одного измерения произвела математическую непрерывность одного измерения. Формула

A > C, A = B, B = C,

которая резюмировала грубые данные опыта, содержала в себе нетерпимое противоречие. Чтобы избавиться от него, нужно было ввести новое понятие, впрочем, принимая во внимание существенные свойства физической непрерывности многих измерений. Математическая непрерывность одного измерения допускает единственную шкалу с бесконечным числом ступеней, которые соответствуют разным соизмеримым или несоизмеримым значениям одной и той же величины. Для того чтобы получить математическую непрерывность n измерений, достаточно взять n подобных шкал, ступени которых будут соответствовать различным значениям n независимых величин, называемых координатами. Таким образом, получится изображение физической непрерывности n измерений, и это изображение — насколько это возможно — будет верным, если только не желают допустить существование того противоречия, о котором я говорил выше.

Теперь, по-видимому, решен вопрос, который мы поставили себе вначале. Когда мы говорим, что пространство имеет три измерения, то мы, скажут нам, подразумеваем, что совокупность точек пространства удовлетворяет определению, которое мы только что дали для физической непрерывности трех измерений. Удовлетвориться этим значило бы предположить, что мы знаем, что такое совокупность точек пространства или даже что такое одна точка пространства.

А это не так просто, как кажется. Все думают, что знают, что такое точка; и мы даже полагаем, что нет нужды в ее определении именно потому, что мы слишком хорошо знаем ее. Конечно, нельзя требовать от нас умения определить ее, потому что при переходе от определения к определению необходимо должен наступить момент, когда приходится остановиться. Но когда же следует остановиться?

Прежде всего, остановка произойдет тогда, когда дойдем до предмета, который поддается восприятию наших чувств или который можно себе представить; тогда определение станет бесполезным; ребенку ведь не определяют барана, ему говорят: вот баран.