Отличная квантовая механика полностью

где мы удалили все члены выше первого порядка по r.

Эти результаты согласуются с теми, которые можно ожидать из вычислений в представлении Гейзенберга (упр. 3.108). И в самом деле, согласно тому расчету, мы ожидаем в первом порядке по r:

где мы воспользовались тем фактом, что неопределенности координаты и импульса в вакуумном состоянии равны 1/2.

b) Применив двухосцилляторный сжимающий оператор (3.176) к двойному вакуумному состоянию, находим

Квадрат нормы этого состояния ⟨ψ |ψ⟩ = 1 + r², что опять же в первом порядке по r аппроксимируется единицей. Математические ожидания наблюдаемого в этом состоянии равны

Аналогичное выражение для будет содержать 64 члена. Для его упрощения заметим сразу, что ненулевой вклад мы можем получить только от тех членов по которые оставляют числа фотонов в двух модах равными. Вот эти члены: и Отсюда

где мы опять удалили все члены порядка выше первого по r.

Как и в пункте (a), эти результаты согласуются с теми, что ожидаются из представления Гейзенберга. Расчет для импульса проводится аналогично.

Решение для упражнения 3.116

a) Мы вычисляем требуемое скалярное произведение с применением волновых функций (3.117a) и (3.175a), помня при этом, что α действительно:

b) Используя фоковское разложение (3.122) когерентного состояния, преобразуем предыдущий результат (Р3.116) в

Далее, раскладывая правую часть согласно

Поскольку данное уравнение верно для всех значений α, для каждого n должно соблюдаться следующее: член суммы в левой части, содержащий αⁿ, должен быть равен соответствующему ему члену, содержащему α^2m, где n = 2m, в правой части. Поэтому

Этот результат эквивалентен (3.191), потому что одномодовое сжатое состояние содержит только члены с четным числом фотонов.

Решение для упражнения 3.117

a) Используя волновую функцию (3.186a) двумодового сжатого вакуумного состояния, находим:

В определенный момент этого преобразования мы изменили переменные интегрирования с (X_A, X_B) на (X₊, X_—). Соответствующий якобиан равен

b) Теперь разложим когерентные состояния в левой части по фоковскому базису и вспомним, что вклад в Ŝ₂(e)|0,0⟩ вносят только члены с равным числом квантов. В этом случае приведенный выше результат принимает вид

c) Разложив экспоненту в правой части уравнения выше в степенной ряд по α, имеем

Теперь приравняем члены с одинаковыми n друг другу и получим уравнение (3.193).

Решение для упражнения 3.118

a) Из (3.191) имеем:

Это значение можно вычислить, написав

и взяв производные от обеих сторон по thr. А так как находим

из чего вытекает, что ⟨m⟩ = ch₂r th₂r = sh₂r. А чтобы найти дисперсию числа квантов, вычислим производные от обеих сторон (Р3.120) еще раз:

так что имеем окончательно, что

⟨Δm²⟩ = ⟨m²⟩ − ⟨m²⟩ = 2sh²r + 2sh⁴r.

b) Аналогично из (3.193) находим, что

Взяв производные от обеих сторон по thr, получаем с использованием (Р3.121)

следовательно, ⟨n⟩ = ch₂rth₂r = sh₂r. Вычисляя производные еще раз, имеем:

так что

⟨Δn²⟩ = ⟨n²⟩ − ⟨n⟩² = sh²r + sh⁴r.

Решение для упражнения 4.1

a) Взяв скалярное произведение выражения в правой части уравнения (4.4) с произвольным координатным собственным состоянием получим

так что равенство (4.3) выполняется.

b) Подставив выражение (4.4) вместо |ψ⟩ и его аналог вместо |ϕ⟩ в ⟨ψ|ϕ⟩, находим

Решение для упражнения 4.2. Согласно определению скалярного произведения для пространств тензорных произведений,

Решение для упражнения 4.3. Утверждение данного упражнения следует из упр. 2.26 и определения собственного состояния вектора импульса как Однако мы можем также доказать его явно, записав по аналогии с (4.2), что

Решение для упражнения 4.4. Потенциал раздели́м:

так что условие упр. 2.26 выполняется. Следовательно, базис энергетических собственных состояний для трехмерного гармонического осциллятора состоит из состояний |n_x, n_y, n_z⟩, где |n_x,y,z⟩ — фоковские состояния гармонических осцилляторов, связанных с отдельными осями. Энергия состояния |n_x, n_y, n_z⟩, согласно упр. 2.26, такова:

Поэтому возможные собственные значения энергии равны где n — любое неотрицательное целое число. Эти собственные значения вырождены для n ≥ 1. Например, при n = 1 вырожденность тройная: состояния |1, 0, 0⟩, |0, 1, 0⟩, |0, 0, 1⟩ имеют одинаковую энергию

Вырожденность энергетического уровня с заданным n — это полное число комбинаций (n_x, n_y, n_z), таких что n = n_x + n_y + n_z. Найдем его. Значение n_x может быть любым целым числом от 0 до n. Для заданного n_x значение n_y может быть любым целым числом от 0 до n — n_x (всего n + 1 — n_x вариантов). Наконец, если выбраны и n_x, и n_y, остается только одно значение, которое может принять n_z, оно равно n — n_x — n_y. Соответственно, вырожденность рассчитывается следующим образом:

Решение для упражнения 4.5