Решение для упражнения 4.38. При n = 1 и l = 0 имеет место равенство κ = Me2/4πε0ℏ2, в соответствии с (4.51). Поскольку индекс j коэффициентов Aj должен принимать значения между l + 1 и n, остается только один ненулевой коэффициент A1. Соответственно, воспользовавшись (4.51) и вспомнив, что Rnl(r) = Unl(r)/r, получаем
R10(r) = A1e−r/a.
Чтобы нормировать эту радиальную функцию, запишем интеграл (4.15a):
Он вычисляется при помощи (4.52):
так что A1 = 2a–3/2.
Если n = 2, то κ = 1/2a. Начнем с l = 0. Не обнуляются у нас коэффициенты A1 и A2, причем они связаны соотношением (4.49), которое в данном случае принимает вид
Нормирование этой радиальной функции дает
так что A1 = (2a3)–1/2.
Наконец, при n = 2 и l = 1 у нас есть только A2, и радиальная волновая функция становится
R21(r) = A2re−r/2a.
Тогда нормирующее уравнение имеет следующий вид:
так что A2 = (24a5)–1/2.
Решение для упражнения 4.39. Если n задано, то l может принимать любое целое значение от 0 до n — 1. Каждое из значений l, в свою очередь, является вырожденным по отношению к магнитному квантовому числу m; степень вырожденности при этом равна, как мы знаем, 2l + 1. Дополнительная вырожденность проистекает из спиновой степени свободы электрона: спиновое квантовое число для него может принимать два значения, ±1/2. Таким образом, полная вырожденность, связанная с конкретным значением n, равна
Решение для упражнения 4.40. Из уравнения (4.59) находим для энергии фотона:
Воспользовавшись тем, что оптическая частота и длина волны связаны уравнением получаем (4.61).
Согласно (4.59), серия Лаймана соответствует энергиям фотонов от до Ry, серия Бальмера — от до серия Пашена — от до Учитывая, что энергия фотона связана с его длиной волны через уравнение ℏω = 2πℏc/λ, находим, что длины волн попадают в интервал 91–122 нм для серии Лаймана, 365–656 нм для серии Бальмера и 820–1875 нм для серии Пашена (принимая во внимание поправку по приведенной массе). Только серия Бальмера располагается в пределах видимой части спектра.
Решение для упражнения 4.41. Классический электрон, движущийся по круговой орбите радиуса r со скоростью 𝑣, испытывает центростремительное ускорение 𝑣2/r, вызванное, как известно, электростатическим притяжением ядра, сила которого составляет:
Записав второй закон Ньютона Φ = M𝑣2/r, находим
При этом мы можем переписать (4.58) как
M𝑣r = nℏ.
Решив последние два уравнения для r и 𝑣, получаем
При n = 1 результат для r согласуется с определением (4.50) боровского радиуса.
Кинетическая и потенциальная энергии электрона на орбите равны соответственно
(первая равна половине последней с противоположным знаком, как и ожидалось по теореме вириала). Следовательно, полная энергия согласуется с (4.56).
Решение для упражнения 4.42. Длина волны де Бройля (3.26) так что условие Бора (4.58) pr = nℏ эквивалентно 2πr = nλdB, т. е. орбита содержит целое число волн де Бройля. Остальное решение идентично решению предыдущего упражнения.
Решение для упражнения 4.43
a) Если исходить из той же логики, что и в упр. 4.38, то κ = 1/na и Unl(r) имеет только один ненулевой коэффициент An. Радиальная волновая функция равна
Rn,n−1(r) = Anrn−1e−r/na.
Уравнение нормирования
b) Для среднего радиуса имеет место равенство:
c) (Р4.33) для радиуса боровской орбиты может быть записано [при помощи (4.50)] как r = an2. Для больших значений n это близко к указанному выше результату для среднего ⟨r⟩, полученному квантовыми методами.
Решение для упражнения 4.44. Состояние |100⟩ имеет волновую функцию
Для математического ожидания z = r cos θ имеет место равенство
поскольку — это изотропная функция, а z — нечетная функция от
Средний квадрат z задается формулой
так что среднеквадратичное отклонение равно боровскому радиусу a.
Исходя из того, что функция состояния |100⟩ изотропна, мы можем ожидать тех же результатов для наблюдаемых x и y.
Решение для упражнения 4.45. Учитывая (4.57), запишем интересующие нас матричные элементы следующим образом:
где rj(θ, φ) = r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ для x, y, z соответственно. Мы узнали из упражнений 4.32 и 4.33, что все сферические гармоники представляют собой нечетные функции, т. е. в точках (θ, φ) и (π — θ, π + φ) они принимают противоположные значения. Это же верно для всех rj(θ, φ). Сферическая гармоника — константа, т. е. четная функция. Это говорит о том, что подынтегральное выражение в уравнении (Р4.34) — нечетная функция при l = l′, а значит, интеграл, соответствующий обнуляется, когда производится интегрирование по всему пространству.
