Обратите внимание, что мы не включаем явно вероятности в сумму, поскольку состояния ненормированны, так что вероятности их существования уже включены в их матрицы плотности (см. упр. 5.4). Выражение (5.15) — это матрица оператора (Р5.7) в базисе {|𝑣m⟩}.
Решение для упражнения 5.36. Начальное состояние |+⟩ имеет оператор плотности |+⟩⟨+|, что соответствует матрице в каноническом базисе и в диагональном. После измерения в каноническом базисе это состояние становится полностью смешанным, т. е. в обоих базисах. Мы видим, что действие измерения на матрицу плотности, записанную в каноническом базисе, соответствует устранению недиагональных элементов. Однако если матрица плотности записана в диагональном базисе (т. е. не в базисе измерения), то диагональные элементы при измерении изменяются.
Решение для упражнения 5.37. Записав определение наблюдаемого оператора (1.12) в виде получаем
где — это вероятность проецирования на собственное состояние |𝑣m⟩ оператора
Решение для упражнения 5.38. Используя дифференциальное уравнение (5.7) для эволюции матрицы плотности в представлении Шрёдингера, получаем:
Теперь воспользуемся цепным правилом для следа [упр. 5.29(b)], чтобы вывести
Решение для упражнения 5.39
a) Записываем в соответствии с определением оператора плотности (5.1); здесь |Ψi⟩ — двусоставные состояния (чистые, но необязательно разделимые). Как мы выяснили в главе 2 [см. (2.22)], измерение Алисой состояния |Ψi⟩, регистрирующее элемент |𝑣m⟩ ее измерительного базиса, преобразует |Ψi⟩ в ненормированное состояние Соответственно, полная матрица плотности становится
Часть этого двусоставного состояния, относящаяся к Бобу, есть
b) Если результат измерения Алисы неизвестен, то Боб получает вероятностный ансамбль, состоящий из ненормированных состояний с различными m, так что соответствующий оператор плотности представляет собой их сумму (см. упр. 5.4):
Решение для упражнения 5.40
Для состояния из упр. 2.45, a)
a) Ансамблевое описание фотона Боба, которое было найдено в упр. 2.45 для измерений Алисы в каноническом базисе, — это «либо |H⟩ с вероятностью 1/5, либо |V⟩ с вероятностью 4/5». Это соответствует матрице плотности
Если Алиса измеряет в диагональном базисе, ансамбль Боба приобретает вид: «либо либо с вероятностями 1/2». Соответствующая матрица плотности
b) Используя частичный след, найдем, что
Это согласуется с пунктом a).
Для состояния из упр. 2.45, b)
a) Словесные описания фотона Боба, найденные при выполнении упр. 2.45, звучат так: «либо |+⟩ с вероятностью 2/3, либо |V⟩ с вероятностью 1/3» и «либо с вероятностью 5/6, либо |H⟩ с вероятностью 1/6». Эти ансамбли соответствуют одним и тем же матрицам плотности
и
что также совпадает с результатом пункта a).
Решение для упражнения 5.41. Для состояния Белла |Φ+⟩
что эквивалентно полностью смешанному состоянию. Для трех других состояний Белла вычисления аналогичны и результат тот же.
Решение для упражнения 5.42. Доказательство аналогично доказательству в упр. 5.26.
Решение для упражнения 5.43. Вычислим след оператора в базисе {|𝑣m⟩ ⊗ |ωn⟩}, где {|𝑣m⟩} и {|ωn⟩} — ортонормальные базисы в пространствах Алисы и Боба соответственно. Находим
Если левая сторона этого уравнения равна единице, то ей же должна быть равна и правая.
Решение для упражнения 5.44
a) Если (где состояния |ϕ⟩ и |ψ⟩ живут, соответственно, в гильбертовых пространствах Алисы и Боба), тогда для любого элемента |𝑣m⟩ базиса Алисы имеет место равенство и отсюда
что является чистым состоянием. Рассуждения по пространству Боба аналогичны.
b) Предположим для начала, что запутанное двусоставное состояние является чистым: Можно разложить это состояние, как мы делали в подразд. 2.2.2: , где {|𝑣i⟩} — ортонормальный базис в пространстве Алисы, а {|bi⟩} — набор нормированных векторов в пространстве Боба. Взяв частичный след этого состояния над гильбертовым пространством Алисы, получаем
Если |Ψ⟩ запутано, то по крайней мере два из |bi⟩ различны, так что смешано.
Для не-чистого имеет место равенство Это статистический ансамбль смешанных состояний, который, как мы показали в упр. 5.22, не может быть чистым.
Решение для упражнения 5.45. Предположим, система находится в начальном состоянии а начальная матрица плотности прибора равна |ω1⟩⟨ω1|. Измерение фон Неймана преобразует систему и прибор по схеме поэтому в результате мы получим состояние
Находим частичный след по гильбертову пространству прибора в базисе {|ωk⟩}:
что соответствует диагональной матрице плотности в базисе {|𝑣k⟩}.
Решение для упражнения 5.46. Для математическое ожидание наблюдаемого Паули равно
Рассуждения для y- и z-компонентов вектора Блоха аналогичны.
Решение для упражнения 5.48
