Решение для упражнения 5.83. Так как линейное пространство матриц 2 × 2 четырехмерно и
имеет четыре элемента, достаточно убедиться, что Q является остовом (упр. A.7). Разложить произвольную матрицу по базису Q означает найти коэффициенты разложения
которое мы можем переписать в матричном виде как
Решив это уравнение относительно λ, находим
или
Мы видим, что разложение на элементы Q существует для всех так что Q действительно является остовным множеством.
Решение для упражнения 5.84
Подставив уравнения из пункта (a), получим уравнение (5.45).
Решение для упражнения 5.85. Любой оператор плотности записывается в базисе {|𝑣n⟩} как
Подставив (5.47) в это разложение, находим
(суммирование по m и по n идет от 1 до N, тогда как суммирование по i — от 1 до N2). Сравнивая приведенное выше уравнение с (5.46), мы видим, что выражение в квадратных скобках равно
Решение для упражнения 5.86. Воспользовавшись разложением (Р5.28), получаем
Поэтому
Решение для упражнения 5.87. Мы можем рассматривать тензор процесса (5.48) как набор матриц Enm (где n, m ∈ {1, …, N}), каждая из которых задается выражением
Используя (Р5.29) и (Р5.31), находим
Решение для упражнения 5.88. Следуя логике рассуждений, примененных в упр. 5.80, мы предполагаем, что состояние представляет собой ансамбль, в котором состояние возникает с вероятностью α, а состояние — с вероятностью β. Тогда, используя условные вероятности (Б.6), мы можем записать вероятность того, что детектор покажет после измерения выходное состояние j, следующим образом:
Решение для упражнения 5.89. Воспользовавшись результатом предыдущего упражнения и исходя из того, что находим:
Решение для упражнения 5.90. Воспользовавшись разложением (Р5.30), которое применимо в данном случае, и результатом предыдущего упражнения, получаем
При этом (5.39) можно переписать в виде
Сравнив эти два уравнения, мы видим, что выражение в квадратных скобках в уравнении (Р5.33) есть на самом деле матрица j-го POVM-элемента, т. е.
Решение для упражнения 5.91
a) Вычислим вероятность выходного значения j-го детектора для всех и j ∈ {1,2} с использованием результата упр. 5.73. Находим:
b) Заметим, что наше множество пробных состояний будет таким же, как (5.44), за исключением того, что теперь мы работаем с кубитом поляризации фотона, а не с кубитом спина. Значит, мы можем использовать разложение (5.47) с коэффициентами, заданными уравнением (Р5.31) (заменив состояния |↑⟩ и |↓⟩ на |H⟩ и |V⟩ соответственно). Итак, воспользовавшись результатом упр. 5.90, получаем
Глава РA
<p>Решения к упражнениям приложения A</p>Решение для упражнения A.1
a) Да. Нет. Да. Да. Поле над самим собой — это линейное пространство, потому что все свойства, перечисленные в определении A.1, следуют из свойств сложения и умножения элементов поля. ℝ над ℂ не является линейным пространством, поскольку при умножении «вектора» (действительного числа) на «скаляр» (комплексное число) мы можем получить число, которое не будет действительным, т. е. не окажется уже элементом линейного пространства. Наконец, ℂ над ℝ — линейное пространство, так как сложение комплексных чисел и умножение комплексного числа на действительное дает комплексное число, и это доказывает, что данные операции определены верно. Несложно убедиться, что их свойства эквиваленты аксиомам определения A.1.
b) Да. Нет. Сложение двух многочленов или их умножение на число (как действительное, так и комплексное) дает многочлен степени не выше исходных. Множество многочленов степени > n не образует линейного пространства, в частности, потому что не содержит нулевого элемента.
c) Да. Нет. В первом случае нулевой элемент — это функция 𝑓(x) ≡ 0. Множество функций, таких что 𝑓(1) = 1, этого элемента не содержит.
d) Да. Сумма двух периодических функций с периодом T или произведение такой функции на число также является периодической функцией с периодом T.
e) Да. Из геометрии известно, что сложение векторов и умножение вектора на число дает вектор. Можно убедиться, что свойства этих операций удовлетворяют аксиомам линейного пространства. Обратите внимание: поскольку N-мерный вектор может быть определен столбцом из N действительных чисел (координаты вектора), мы вправе сказать, что линейное пространство N-мерных геометрических векторов изоморфно (эквивалентно) линейному пространству столбцов из N действительных чисел.
Решение для упражнения A.2
a) Предположим, что существуют два нулевых элемента, |zero⟩ и |zero′⟩. Тогда, согласно аксиоме 3, мы видим, что, с одной стороны, |zero⟩ + |zero′⟩ = |zero′⟩, а с другой — |zero⟩ + |zero′⟩ = |zero′⟩ + |zero⟩ = |zero⟩ (по аксиоме 1). Следовательно, |zero⟩ и |zero′⟩ представляют собой один и тот же элемент 𝕍 и, значит, должны быть равны между собой.
