Такой итог может показаться удивительным. Хотя результат Алисы положителен, вероятность того, что она и в самом деле инфицирована, очень низка — потому что еще более низка доля людей, которые инфицированы в действительности. Положительный результат для случайного человека, скорее всего, ошибочен, несмотря на низкий процент ложных положительных результатов, указанный в спецификации теста.
Решение для упражнения Б.8
a) Каждый из n бросков представляет собой независимое случайное событие. Поэтому существует 2n возможных цепочек исходов длины n, и вероятность любой конкретной цепочки равна 1/2n. Среди этих цепочек есть таких, в которых в k подбрасываниях монета выпадает орлом, а в n — k — решкой. Отсюда ответ:
b) В данном случае вероятность любой конкретной последовательности, содержащей k выпадений монеты орлом и n — k — решкой, равна pk (1 — p)n — k. Поэтому ответ из пункта a) становится таким:
Решение для упражнения Б.10. Для среднего значения имеет место равенство:
(обратите внимание, мы заменили нижний предел суммирования, потому что слагаемое, соответствующее k = 0, равно нулю). Теперь, заменив переменную суммирования на m = k — 1, находим
В данном уравнении выражение под знаком суммы — это биномиальная вероятность, соответствующая m успешным исходам из n — 1 событий. Сумма этих вероятностей по всем значениям m равна 1. Поэтому ⟨k⟩ = np.
Для среднего квадрата, действуя аналогичным образом, находим
Отсюда следует, что
⟨Δk2⟩ = ⟨k2⟩ — ⟨k⟩2 = np — np2.
Решение для упражнения Б.11
a) Вероятность рождения ребенка на единицу населения в день (p) равна 10/100 000 = 10–4. Используя биномиальное распределение с n = 100 000, находим:
b) Аналогичным образом находим pr12 = 0,0947807.
Решение для упражнения Б.12
Решение для упражнения Б.13
Решение для упражнения Б.15. В пределе при p → 0, n → ∞, λ = pn = const уравнение (Б.8) принимает вид
⟨k⟩ = np = λ; ⟨Δk2⟩ = np — np2 → λ.
Решение для упражнения Б.16
a) Для заданного дискретизированного распределения вероятность того, что Q попадает в диапазон между Q′ и Q″, — это сумма вероятностей для всех интервалов, расположенных между этими значениями:
В пределе при δQ → 0 эта аппроксимация становится равенством, потому что и Отсюда, согласно определению (Б.10) непрерывной плотности вероятности, а также определению интеграла, имеет место равенство
где i(Q) — это номер интервала, к которому относится значение Q.
b) Согласно пункту a), интеграл (Б.12) соответствует вероятности обнаружить любое значение Q между —∞ и +∞ и, значит, равен единице.
c) В дискретном случае
где суммирование проводится по всем интервалам. Переход от суммирования к интегрированию в пределе при δQ → 0 производится аналогично тому, как это сделано в пункте a).
Решение для упражнения Б.17. Вероятность того, что ядро не распадется через время t от начала эксперимента, равна 2—t/τ. Тогда вероятность того, что событие распада происходит между моментами t и t + δt, должна быть пропорциональна производной этой функции, т. е. тоже 2—t/τ с некоторым коэффициентом. Соответственно, pr(t) = C × 2—t/τ, где C — постоянная нормирования, которую можно найти при помощи (Б.12):
И это означает, что неопределенность равна
Решение для упражнения Б.18
a) Это следует непосредственно из уравнений (Б.15) и (Б.17).
где мы заменили переменную интегрирования в соответствии с t = x — a. Первый член в этом выражении обнуляется, потому что представляет собой интеграл нечетной функции. Второй член равен a, согласно пункту a).
Глава РВ
<p>Решения к упражнениям приложения В</p>Решение для упражнения В.2. См. рис. РВ.1.
Решение для упражнения В.3. Схема поляризации (В.2) в точке z + Δz в момент времени t такая же, как в точке z в момент времени t — (k/ω)Δz = t — Δz/c. Поскольку вектор поля есть периодическая функция от времени, сдвиг во времени не изменит форму его траектории.
Решение для упражнения В.4
a) Согласно (В.1),
EH(z,t) = AHcos(kz — ωt +ϕH); (РВ.1)
EV(z,t) = AVcos(kz — ωt +ϕV).
Поляризация линейна тогда и только тогда, когда EH(z,t) = 0, или EV(z,t) = 0, или EH(z,t) = λEV(z,t) с некоторым коэффициентом λ. Первые два условия выполняются в том и только том случае, если AH = 0 или AV = 0 соответственно. Третье условие подразумевает, что два косинуса пропорциональны друг другу, а это может произойти тогда и только тогда, когда сдвиг по фазе между ними составляет mπ.
b) Для начала обратим внимание: в круговой картине максимальное абсолютное значение для горизонтального и вертикального компонентов должно быть одинаковым, поэтому AH = ±AV. Далее, круговая картина означает, что а это подразумевает, что
cos2(kz − ωt + ϕH) + cos2(kz − ωt + ϕV) = const.
