Отличная квантовая механика полностью

Теперь взгляните на структуру этих распределений вероятностей. С позиции локального реализма каждое устройство определяет величину, которая появляется на экране по каждому нажатию одной из клавиш, на основе локальной информации, которая имеется в наличии, — скрытого параметра прилетевшей частицы (который мы обозначим λ_A и λ_B для частиц Алисы и Боба соответственно) и некоторого алгоритма. В этом алгоритме, возможно, присутствует случайность, поэтому он характеризуется набором вероятностей Например, определяет вероятность величины M_A, которая появится на экране установки Алисы, когда она нажимает кнопку M, если скрытый параметр прилетающей частицы равен λ_A.

Используя выражение (Б.6) для условных вероятностей, мы можем записать вероятность получения определенной пары величин на экранах Алисы и Боба как

для случая, когда и Алиса, и Боб нажимают кнопку M. Здесь — вероятность того, что скрытыми параметрами пары частиц являются λ_A и λ_B. Обратите внимание, что эти параметры могут коррелировать между собой, поскольку частицы появляются из одного источника, так что мы не можем выразить как произведение вероятностей. Для трех остальных возможных комбинаций кнопок выражения имеют аналогичный вид.

Упражнение 2.46. Опираясь на приведенный выше результат, покажите, что (2.24) может быть переписано в виде

где есть неотрицательная переменная, обладающая свойством

Значение (2.26) состоит в том, что множество четырех величин {M_A, M_B, N_A, N_B} подчиняется математически допустимому распределению вероятностей. Это означает, что для любого локального реалистичного эксперимента с передней панелью Белла (рис. 2.2) математически можно построить альтернативное устройство, которое будет генерировать и показывать эти четыре величины для каждого события (рис. 2.3), и эти величины будут демонстрировать в точности такую же статистику для каждой пары (M_A, M_B), (M_A, N_B), (N_A, M_B), (N_A, N_B), какую демонстрирует первоначальная конструкция.

Обратите внимание: утверждение, сделанное выше, неверно, если принцип локальности не работает — например, если M_A зависит не только от λ_A, но также от того, какую кнопку нажал Боб. Эта зависимость сделала бы неверным (2.25), а следовательно, и (2.26).

Упражнение 2.47. Выведите неравенство Белла

|⟨M_AM_B — M_AN_B + N_AM_B + N_AN_B⟩| ≤ 2 (2.27)

для любого прибора, передняя панель которого представлена на рис. 2.3.

Подсказка: перепишите (2.26) как ⟨S⟩ = ⟨M_A (M_B — N_B) + N_A (M_B + N_B)⟩.

Это неравенство применимо и к любому локально-реалистичному устройству с передней панелью Белла (рис. 2.2). И в самом деле, если бы оно не выполнялось для такой установки, оно нарушалось бы также и для ее эквивалента на рис. 2.3, а мы только что показали, что это невозможно.

Подчеркну еще раз, что наш вывод не опирается ни на какие предположения о физике частиц или измерительных устройств, но только на самые общие принципы причинности и локального реализма.

Теперь мы опишем конкретную экспериментальную установку, передняя панель которой соответствует данному выше описанию, но которая при этом нарушает неравенство Белла. Две частицы, полученные Алисой и Бобом, — это два фотона в белловском состоянии |Ψ^—⟩. Устройство приема и у Алисы, и у Боба состоит из полуволновой пластинки, за которой следует PBS с двумя детекторами фотонов в выходных каналах (рис. 2.1). Когда Алиса и Боб нажимают свои кнопки, волновые пластинки устанавливаются на угол θ/2, где величина θ задается табл. 2.1. Детекторы подключены к экрану, так что регистрация фотона в пропущенном (отраженном) канале приводит к появлению на экране числа +1 (–1). Это эквивалентно тому, что и Алиса, и Боб измеряют наблюдаемое

В следующих упражнениях мы вычислим квантовое предсказание статистики результатов этих измерений, из которого сможем определить математическое ожидание наблюдаемого S.

Упражнение 2.48. Напишите наблюдаемое (2.28) в нотации Дирака в каноническом базисе.

Упражнение 2.49. Вычислите математические ожидания для следующих операторов в состоянии |Ψ^—⟩:

Подсказка: чтобы снизить объем вычислений, используйте изотропность |Ψ^—⟩ (упр. 2.9).

Таким образом, мы видим, что, согласно квантовой механике, математическое ожидание S равно

а это нарушает неравенство Белла (2.27).

Данный результат завершает аргументацию Белла, которая дает нам в руки инструменты для экспериментальной проверки гипотезы Эйнштейна — Подольского — Розена.