Мы будем следовать стратегии, напоминающей метод, которым мы пользовались в подразд. 3.8.2 при работе с гармоническим осциллятором. Начнем с того, что определим аналоги операторов рождения и уничтожения — повышающий и понижающий операторы (raising and lowering operators, иногда также называемые лестничными) — как
Упражнение 4.18. Покажите, что:
Упражнение 4.19. Пусть некоторое состояние |λμ⟩ есть общее собственное состояние Покажите, что тогда:
a) состояние также является общим собственным состоянием этих операторов с собственными значениями λ, μ + ℏ;
b) состояние также является общим собственным состоянием этих операторов с собственными значениями λ, μ — ℏ.
Подсказка: попробуйте применить тот же подход, что и в упр. 3.61.
Данное упражнение показывает, что состояния и пропорциональны нормированным состояниям |λ, μ + ℏ⟩ и |λ, μ — ℏ⟩ соответственно. В следующем упражнении мы найдем коэффициент пропорциональности.
Упражнение 4.20. Покажите, что, пренебрегая произвольным фазовым множителем,
Подсказка: используя упр. 4.18, c), найдите и и согласуйте результат с утверждениями, доказанными в упр. 4.19.
Упражнение 4.21. Покажите, что μ2 не может быть больше λ.
Упражнение 4.22. Покажите, что утверждение, содержащееся в упр. 4.21 может выполняться, только если λ = ℏ2l (l + 1) и μ = ℏm при том, что:
• l есть неотрицательное целое или полуцелое число
• для заданного l, m ∈ { —l, — l + 1, …, l — 1, l}.
Подсказка: примените ту же логику, что и в подразд. 3.8.2, где мы доказывали, что собственные значения оператора числа квантов гармонического осциллятора должны быть целыми.
Это один из основных результатов данного раздела. Если мы пытаемся измерить наблюдаемое в некотором состоянии, то мы можем получить только значения Далее если мы сначала приготовим нашу систему в состоянии с заданным (например, измерив его), а затем произведем измерение наблюдаемого то мы получим одно из 2l + 1 возможных значений в диапазоне от — lℏ до lℏ с шагом ℏ. Мы видим, что, как и говорилось в начале этого раздела, собственные значения вырождены, и степень вырождения (число ортогональных собственных состояний, соответствующих одному и тому же собственному значению) составляет 2l + 1.
В дальнейшем мы будем использовать нотацию |lm⟩ вместо |λμ⟩ для обозначения общих собственных состояний и с собственными значениями λ = ℏ2l (l + 1) и μ = ℏm соответственно. В контексте движения материальной точки значение l называется орбитальным квантовым числом[102], а m — магнитным квантовым числом.
Упражнение 4.23§. Покажите, что уравнения (4.32) можно переписать следующим образом:
Обратите внимание, что упр. 4.22 устанавливает только необходимые условия для существования общих собственных состояний и с заданными собственными значениями. Мы пока не знаем, существует ли собственное состояние для заданной пары (l, m), даже если она удовлетворяет приведенным условиям, и является ли это собственное состояние единственным. Мы обратимся к данному вопросу в следующем разделе. Пока же просто примем единственность и существование состояний |lm⟩ как факт. Из этого будет следовать, что они согласно спектральной теореме (упр. A.60) образуют ортонормальный базис в 𝕐. В контексте физики момента импульса мы будем называть базис {|lm⟩} каноническим.
Упражнение 4.24. Покажите, что элементы матрицы где обнуляются всякий раз, когда l ≠ l', не вычисляя их в явном виде.
Согласно приведенному результату, матрицы всех компонентов как и имеют структуру, показанную в табл. 4.1. Это блочно-диагональная матрица, каждый блок которой описывает оператор момента импульса в пределах подпространства гильбертова пространства 𝕐, связанного с каким-то конкретным значением l. Размер каждого блока составляет (2l + 1) × (2l + 1). В каждом блоке значения m традиционно располагаются в порядке уменьшения.
Упражнение 4.25. Найдите элементы матрицы где
Упражнение 4.26§. Выпишите матрицы из упр. 4.25 в явном виде для подпространств гильбертова пространства, связанных с:
a) l = 1/2,
b) l = 1.
Убедитесь в обоих случаях, что матрицы момента импульса подчиняются уравнению
Обратите внимание, что матрицы момента импульса для подпространства l = 1/2 пропорциональны матрицам Паули [см. (1.7)]. Это тождество объясняет физику, которая стоит за индексами x, y и z, присваиваемыми нами этим матрицам на протяжении всего курса.
Упражнение 4.27. Предположим, вы производите измерения компонентов x или y момента импульса некоторой частицы.
a) Какие возможные значения могут быть получены при измерении, если известно, что частица приготовлена в состоянии с:
1) l = 1/2,
2) l = 1?
Ответ:
1) {ℏ/2, — ℏ/2},
2) {ℏ, 0, — ℏ}.
b) Найдите состояния, в которые схлопнется состояние частицы, выразив их в каноническом базисе.
