Пока алгебра не разлучит нас полностью

Теперь нетрудно показать, что порядок (х) = p^fmn делится на порядок (у) = р^e, так как мы предположили, что е < f. Мы доказали следующую лемму[2]:

Продолжим доказательство.

Согласно предыдущей лемме мы можем выбрать порождающие элементы х и у группы G так, что порядок (у) = l и порядок (х) будет кратным l и равным, к примеру, lk. Все элементы G можно будет записать в виде 0 ≤ i < lk у 0 ≤ у< l, где 0 < i < lk и 0 < j< l.

Если бы две степени порождающих элементов совпадали, эта запись была бы не единственной. К примеру, если бы у³ равнялось х², то х²у⁴ и х⁴у были бы двумя разными способами записи одного и того же элемента. Обозначим через t наименьшее целое положительное число такое, что у^t совпадает с x^s для некоторого целого s. Мы знаем, что t < I, так как у^l = е = х^lk.

132

В этой новой нотации каждый элемент G можно записать единственным образом в виде xⁱy^j, где 0 < i < lk и 0 < j < t. В самом деле, если бы равенство xⁱy^j = xⁱy^j выполнялось для какого-либо 0< j' ≤ j < t, то мы получили бы х^i'-i = у^j-j', или, что аналогично, у^j-j' было бы степенью х. Так как j’ — j строго меньше t, эта величина может равняться только нулю, следовательно, j = j' и i' = i, так как х^i'-i = е при —lk < i' —i < lk.

Это доказывает, что порядок G равен произведению двух верхних границ показателей степени i и j, то есть lkt.

Обозначим через r порядок элемента у^t. Так, е = (у^t)^r = у^tr. Так как у — элемент порядка l, мы знаем, что l ≤ tr. Мы хотим доказать, что l = tr, следовательно, надо исключить случай l < tr. Будем рассуждать следующим образом: если t < tr, то существует целое число u < r такое, что l заключено между tu и t(u + 1), то есть выполняется равенство tu < l < t(u + 1). Обратим внимание на величину t(u + 1) — l.

С одной стороны, это целое положительное число, меньшее t, так как 0 < t(u + 1) — l < t(u + 1) — tu = у.

С другой стороны, имеем равенства y^l(u+1)-l = y^t(u+1)(u + i )= x^s(u+1), так как у имеет порядок l, и у^t = x^s.

Таким образом, мы доказали, что существует целое положительное число, меньшее t, такое, что у, возведенное в эту степень, равно некоторой степени х. Этот вывод абсурден, так как, по определению, t — наименьшее целое число, обладающее этим свойством. Таким образом, мы исключили случай l < tr. Имеем l = tr. Так, е = у^t = y^lr = x^sr.

В дальнейших рассуждениях применим следующую лемму.

Достаточно доказать эту лемму для положительных d. Так как n — наименьший целый показатель степени, для которого g, возведенный в эту степень, совпадает с нейтральным элементом, мы знаем, что n < d. Следовательно, мы можем разделить duann получить d = рп + r, где 0 < r < n — остаток от деления.

Тогда е = g^d = g^{pn + r} = (gⁿ)^p g^r = g^r, так как gⁿ = e. Таким образом, g^r = e, и это означает, что r = 0 — в противном случае порядок g будет равняться не n, а r. Лемма доказана.

Так как x^sr = е, то, по лемме 3, sr нацело делится на порядок (х) = Ik, то есть существует v такое, что sr = Ikv. Подставив в это выражение значение f, которое

133

мы только что вычислили, получим sr = trkv. Так как r — порядок элемента у^t, это ненулевое целое число. Разделив на него обе части равенства, получим s = tkv.

В этом, последнем, разделе мы докажем, что группа G изоморфна прямому произведению циклических групп, порожденных х и x^-vky, где v — целое число, определенное в предыдущем разделе. Имеем элементы порядка lk и t соответственно.

В первом случае доказательство не требуется. Во втором случае заметим, что

(x^-vky)^t = x^-vkt y^t = x^-vkt x^s = x^s-vkt = e,

так как y^t = x^s и s = vkt. Если бы существовало другое целое число t' < t, для которого (х^-vky)^t' = е, то мы получили бы равенство у1 =x~vkt. Однако это выражение противоречит определению f как наименьшего целого числа, для которого у1 — степень х. Следовательно, x~vky имеет порядок f, а порядок прямого произведения <х>

равен Ikt.