Неопределенность есть в каждом предсказании — она может быть вызвана ошибками измерения или же внутренними физическими причинами, менее понятными неспециалисту. Математика ставит задачу выяснить природу такой неопределенности и измерить ее.
Вот довольно грубое, но в целом верное определение: Неопределенность любого события есть минимальное среднее количество вопросов, требующих ответа «да» или «нет», необходимых, чтобы точно охарактеризовать событие. Находимся ли мы севернее экваториальной плоскости Галактики? Направлен ли спин электрона вверх? Отсутствие необходимости в таких вопросах означает определенность.
Пусть у нас есть непрозрачный сосуд с белыми шарами, и мы хотим предсказать цвет шара, который случайным образом вытаскиваем. Нам не нужно задавать вопросов — цвет шара всегда белый. Значит, неопределенность исхода равна нулю.
Если же в нашем сосуде смесь белых и черных шаров, то максимальная неопределенность равна единице, поскольку ответ на единственный вопрос, а именно, «шар белый?», устраняет всякую неопределенность. При четырех цветах неопределенность разрешается двумя вопросами, при восьми — тремя, и так далее.
…вообще говоря, если мы имеем n цветов, то максимальное среднее количество вопросов, необходимых, чтобы точно определить исход, есть H=log
Проще говоря, неопределенность предсказания увеличивается при увеличении числа возможных исходов. В детерминированной системе, которая не допускает различных исходов, неопределенность Н стремится к нулю при увеличении точности определения начального состояния. В недетерминированной системе, такой как, например, квантовомеханическая, существует принципиально неустранимая неопределенность, которая всегда больше нуля, поскольку любая суперпозиция состояний предполагает не один, а целый набор возможных исходов с вероятностями, меньшими единицы.
Например, если электрон проходит через двойную щель, то мы не можем предсказать, в какую точку мишени он затем попадет, но знаем лишь распределение вероятностей попадания в виде дифракционной картинки. Таким образом, конечное состояние этого единственного электрона обязательно будет неопределенным, и уточнить его можно лишь с помощью ряда вопросов — уже после попадания в мишень.
Заметим, что концепция неопределенности не имеет смысла в отсутствие предсказателя и его конкретного предсказания. В случае сосуда с цветными шарами неопределенность очень различна в случаях, если мы предсказываем:
1) что вытащим шар;
2) что вытащим белый шар;
3) что вытащим белый шар, весящий один грамм.
Разумеется, софист может представить квантовую механику в виде детерминистской системы, сделав абсолютно верное предсказание, что реализуются лишь те исходы, которые описываются данным волновым уравнением. Это полезное предсказание, но оно говорит с определенностью лишь о том, что не произойдет, а то, что произойдет, все равно имеет неопределенность, которую можно вычислить. Определенность в данном случае требует больше ответов на вопросы, чем квантовая механика способна извлечь из любого набора начальных условий, независимо от того, как точно они измерены.
В качестве полезного и приятного упражнения можно попробовать вычислить принципиально неустранимую неопределенность, связанную с какой-либо физической системой, которую можно описать квантовомеханическими уравнениями, — и автор настоятельно советует студентам это проделать. Подсказка: в первую очередь следует определить все возможные исходы и их вероятности, затем, используя интегральную форму Н…
Перед тем, кто научился работать с неопределенностями, открывается поистине чудесный мир. Это позволяет, к примеру, очень просто вывести второй закон термодинамики из первых принципов. Можно пойти еще дальше и получить свойство второго закона, связанное с симметрией времени: если обратить время, то прошлые события НЕ повторятся в обратном порядке так, что энтропия будет уменьшаться — наблюдатель в обратном времени по-прежнему увидит мир с увеличивающейся энтропией.
Можете ли вы построить убедительное доказательство того, что человек, живущий в обращенном времени, все равно состарится и умрет, или что в течение нескольких мгновений после обращения времени вода в реке сдвинется вверх, но затем вновь потечет, как положено, вниз к морю? Покажите математически, что скорости и координаты молекул воды, необходимые для того, чтобы вода потекла вверх и поднялась к небу в виде капель дождя, должны быть одновременно определены с точностью на много порядков большей, чем допускает принципиальная неопределенность, налагаемая квантовой механикой.
Объясните, почему заключения о прошлом содержат ту же самую неустранимую неопределенность, что и предсказания будущего, и те же размножающиеся точки ветвления. Докажите, что только во вселенной с неограниченными возможностями хранения информации внутри объемов, меньших планковой длины в кубе, обращение времени может заставить мертвые тела выходить из могил, взрослых людей — уменьшаться, превращаясь в младенцев и возвращаясь в утробу матери, а уран — терять радиоактивность.
Вычислите радиус сферы, у которой неопределенность числа π дает десятипроцентную вероятность того, что π меньше, чем 3.
