Стратегические игры полностью

a) Допустим, сначала никто не вносит вклад. Будучи мэром города, вы хотели бы, чтобы все горожане сделали пожертвование, и можете уговорить некоторых из них. Какое минимальное количество жителей города вам нужно убедить, чтобы остальные добровольно присоединились к проекту?

b) Найдите равновесия Нэша в игре, в которой каждый житель города решает, вносить ли ему вклад в создание парка.

S5. Используйте идею кейнсианской безработицы, описанную в разделе 3.Г, в игре с соответствующими характеристиками и покажите множество равновесий в игре на графике. Отобразите уровень производства (национальный продукт) на вертикальной оси как функцию уровня спроса (национального дохода) на горизонтальной оси. Равновесие достигается, когда национальный продукт равен национальному доходу, то есть когда функция этих двух показателей пересекает линию под углом 45 градусов. При каких формах этой функции возможно множество равновесий? Почему вероятно существование таких форм в реальности? Предположим, доход увеличивается, когда текущий объем производства превышает текущий доход, и снижается, когда текущий объем производства меньше текущего дохода. Какие равновесия устойчивы и какие неустойчивы при таком динамическом процессе?

S6. Составьте краткое описание стратегической игры со многими участниками, свидетелем или участником которой вы были и в которой выигрыши отдельных игроков зависели от количества других игроков и их действий. Попытайтесь проиллюстрировать ее с помощью графика, если это возможно. Опишите исход реальной игры в свете того, что многие подобные игры приводят к неэффективным исходам. Вы видите признаки такого исхода в вашей игре?

U1. На рис. 11.5 представлены выигрыши в обобщенной коллективной игре с двумя участниками. Там были показаны различные неравенства по алгебраическим выигрышам (p(1) и т. д.), которые делают игру дилеммой заключенных. Вам предстоит найти аналогичные неравенства, соответствующие другим типам игр.

a) При каком условии (условиях) в отношении выигрышей эта игра с двумя участниками представляет собой игру в труса? Какое дополнительное условие (условия) делает эту игру версией I игры в труса (которая показана на рис. 11.3)?

b) При каком условии (условиях) в отношении выигрышей эта игра с двумя участниками представляет собой игру в доверие?

U2. Группе из 30 студентов задали домашнее задание, состоящее из пяти вопросов. Первые четыре вопроса — обычные задачи, решение которых в сумме дает 90 баллов. А пятый вопрос — игра на взаимодействие всей группы. В задании сказано: «Вы можете выбрать, отвечать на этот вопрос или нет. Если решите отвечать, просто напишите: “Это мой ответ на вопрос 5”. Если решите не отвечать на вопрос 5, ваша оценка за выполнение домашнего задания будет зависеть от количества баллов, набранных за первые четыре задачи. Если решите ответить на вопрос 5, ваша оценка будет определяться так: если на вопрос 5 ответит меньше половины студентов группы, вы получите 10 баллов и они будут добавлены к баллам за четыре предыдущие задачи, после чего вы получите общую оценку за выполнение домашнего задания. Если на вопрос 5 ответит половина или больше студентов группы, вы получите 10 баллов и они будут вычтены из вашей оценки за предыдущих четыре вопроса».

a) Постройте график, отображающий выигрыши от двух возможных стратегий — «ответить на вопрос 5» и «не отвечать на вопрос 5», в зависимости от количества студентов, отвечающих на этот вопрос. Найдите равновесие Нэша в этой игре.

b) Какого результата игры вы бы ожидали, если бы она действительно проводилась в вашей группе в колледже? Почему? Проанализируйте два случая: 1) студенты делают выбор в индивидуальном порядке, не общаясь друг с другом; 2) студенты делают выбор в индивидуальном порядке, но могут заранее обсудить его на форуме на сайте группы.

U3. Существует два маршрута передвижения из пункта А в пункт Б. Один — скоростная автомагистраль, а другой — местные дороги. Выигрыш от использования автомагистрали представляет собой постоянную величину, равную 1,8, независимо от количества водителей, которые по ней ездят. Местные дороги перегружены, когда ими пользуется слишком много людей, но если по ним передвигается недостаточное количество машин, некоторые водители рискуют стать жертвами преступлений. Предположим, что когда x водителей выбирают местные дороги, выигрыш каждого из них от поездки по такому маршруту определяется по формуле 1 + 9x — 10x².

a) Постройте график, отображающий преимущества двух маршрутов передвижения как функцию x, рассматривая x в качестве непрерывной переменной, значения которой могут меняться от 0 до 1.

b) На основании графика, полученного в пункте а, определите все возможные равновесные схемы движения транспорта. Какие из этих равновесий устойчивы? Какие неустойчивы? Почему?

c) Какое значение x обеспечивает максимальный выигрыш всей совокупности игроков?