В популяции есть два типа Катлеров: тип F выбирает справедливое разделение приза (50 на 50), тогда как тип G — корыстное разделение (90 на 10). Существует также два типа Бейкеров: тип S просто выбирает большой приз (100 долларов) независимо от действий Катлера, тогда как тип T выбирает большой приз (100 долларов), но при условии, что Катлер его разделит 50 на 50, и маленький приз (10 долларов), если Катлер выберет разделение 90 на 10.
Пусть f — доля типа F в популяции Катлеров, а значит, (1 — f) — доля в этой популяции типа G. Пусть s — доля типа S в популяции Бейкеров, а значит, (1 — s) — доля в этой популяции типа T.
a) Определите уровень приспособленности типов F и G относительно s.
b) Определите уровень приспособленности типов S и T относительно f.
c) При каком значении s у типов F и G одинаковый уровень приспособленности?
d) При каком значении f у типов S и T одинаковый уровень приспособленности?
e) На основании полученных выше ответов начертите график динамики популяций. Отобразите значения f на горизонтальной оси, а значения s — на вертикальной.
f) Опишите все равновесия в этой эволюционной игре, а также укажите эволюционно устойчивые равновесия.
U7. Вспомните упражнение S7. Как оказалось, зайцы весьма заносчивые победители. Каждый раз, когда они обгоняют черепах, они безжалостно высмеивают их медлительность. Бедные черепахи не только проигрывают забег, но и терпят оскорбления со стороны зайцев. Таблица выигрышей в этой игре выглядит так:
a) При каких значениях c уровень приспособленности черепах будет выше, чем у зайцев, если доля черепах t в популяции составляет 0,5? Чем этот результат отличается от ответа, полученного в пункте а упражнения S7?
b) При каких значениях c уровень приспособленности черепах будет выше, чем у зайцев, если t = 0,1? Чем этот результат отличается от ответа, полученного в пункте b упражнения S7?
c) Если c = 1, сможет ли один заяц захватить популяцию, состоящую только из черепах? Объясните, почему да или почему нет.
d) Насколько большим относительно t должно быть значение c в случае черепах, чтобы они были более приспособленными, чем зайцы?
e) Какой уровень t относительно c в полиморфном равновесии? При каких значениях c установится такое равновесие? Обоснуйте свой ответ.
f) Будет ли устойчивым полиморфное равновесие, найденное в пункте e? Почему да или почему нет?
U8 (рекомендуется использовать электронную таблицу). В данной задаче выполняется более глубокий анализ динамики популяции от поколения к поколению, о которой шла речь в упражнении S8. Поскольку математические расчеты могут быстро стать достаточно сложными и громоздкими, рекомендуем выполнить этот анализ с помощью электронной таблицы.
Опять же, рассмотрим популяцию с двумя типами X и Y со следующей таблицей выигрышей:
Вспомните, что динамику популяции от поколения к поколению определяет следующая формула:
где xt — доля X в популяции за период t; xt+1 — доля X в популяции за период t + 1; FXt — уровень приспособленности X за период t; FYt — уровень приспособленности Y за период t.
С помощью электронной таблицы расширьте область этих вычислений на большее количество поколений. (Подсказка: расположите значения xt, FXt и FYt в трех смежных горизонтальных ячейках таблицы, а в каждой следующей строке пусть будут представлены периоды [t = 0, 1, 2, 3, …]. Используйте формулы электронной таблицы, для того чтобы соотнести FXt и FYt c xt и xt+1 в соответствии с представленной моделью динамики популяции.)
a) Если в период 1 (другими словами, когда x0 = 0,5) в популяции имеет место равное соотношение X и Y, какой будет доля X в следующем поколении, то есть x1? Чему равны значения FX1 и FY1?
b) С помощью электронной таблицы выполните соответствующие вычисления для очередного поколения, затем для следующего и т. д. Чему равно значение x20 с точностью до четырех десятичных знаков? Чему равны значения FX20 и FY20?
c) Определите x*— равновесный уровень x. Через сколько поколений популяция будет находиться в пределах 1 процента от x*?
d) Ответьте на вопрос в пункте b при x0 = 0,1.
e) Выполните задание в пункте b при x0 = 1.
f) Выполните задание в пункте b при x0 = 0,99.
g) Возможны ли мономорфные равновесия в данной модели? Если да, устойчивы ли они? Обоснуйте свой вывод.
U9. Рассмотрите эволюционную игру между игроками зеленого и пурпурного типов со следующей таблицей выигрышей:
С учетом параметров a, b, c, d определите условия, которые обеспечивают устойчивое полиморфное равновесие.
U10 (дополнительное упражнение для студентов с хорошей математической подготовкой). Пусть в эволюционной игре с тремя типами, представленной в разделе 5 и на рис. 12.11, q3 = 1 — q1 — q2 — доля агрессивных оранжевогорлых игуан. В таком случае динамику изменения доли каждого типа игуан в популяции можно описать так:
