Первоначальное образование получил в Донском казачьем кадетском корпусе. В 1892 году из взводных портупей-юнкеров (так называлось одно из первичных воинских учебных званий) Николаевского кавалерийского училища произведен в чин хорунжего, и за отличные успехи в науках имя его было занесено на памятную мраморную доску. Начал службу в лейб-гвардии Атаманском полку. В 1900 году с отличием окончил Академию Генерального штаба и до 1914 года занимал ряд штабных должностей в столичном военном округе. На фронт ушел в должности начальника штаба 2-й гвардейской кавалерийской дивизии.
С октября 1914 года по январь 1915 года командовал 4-м Мариупольским гусарским полком, затем — лейб-гвардии Сводно-казачьим полком с зачислением в свиту его величества. В октябре Богаевский был назначен начальником штаба Походного атамана, великого князя Бориса Владимировича и на этом посту находился до Февральской революции.
В 1917 году он назначен начальником Забайкальской казачьей дивизии, а в августе того же года — начальником 1-й гвардейской кавалерийской дивизии. После ее развала уехал на Дон, где по назначению генералом Калединым командовал войсками Ростовского района. В правительстве атамана Краснова занимал пост председателя Совета управляющих отделами, где вскоре получил звание генерал-лейтенанта.
После отказа от власти предводителя донского казачества генерала П. Н. Краснова 6 февраля 1919 года А. П. Богаевского избирают атаманом Всевеликого войска донского.
Служил у Врангеля в Крыму. В конце 1922 года он переехал в Белград, а через год оказался в Париже, где активно сотрудничал с руководством РОВС.
Скончался в Париже 21 октября 1934 года.
Похоронен генерал на русском кладбище в Сен-Женевьев-де-Буа. Он автор интересной книги о Ледяном походе белых частей с отражением там всего того ужаса, с которым пришлось столкнуться практически безоружному, раздетому и голодному Белому движению в борьбе с набирающей силу Красной Армией, поддерживаемой простым народом в результате жестких репрессивных и умелых пропагандистских мер.
В 1920-е годы Болгария стала местом сосредоточения основной массы эмигрировавшего казачества. София превратилась в казачью столицу. Кстати, к концу 1920-х годов в Болгарии насчитывалось более десяти крупных станиц.
По неполным данным Службы по делам беженцев Лиги Наций, в 1926 году официально было зарегистрировано около миллиона русских беженцев. Более двух тысяч приняла Франция, 300 тысяч осело в Турции, в Китае — до 100 тысяч человек. В Югославии, Латвии, Чехословакии, Болгарии и Греции приблизительно по 30–40 тысяч русских эмигрантов.
Так создавалась русская казачья диаспора на Западе…
Советская власть оказалась для многих казаков неуютной властью, особенно после окончания Гражданской войны. Многие исповедовали принцип Гиляровского «в России две напасти: внизу — власть тьмы, а наверху — тьма власти».
Надо признаться, что повсеместно отношения между казачеством и местными жителями ухудшались. В одном из обращений ВЦИК того времени говорилось:
Несомненно, больнее всего этот процесс протекал в южных регионах России, где проживала значительная часть казаков Кубанского, Терского и Донского казачьих войск. Именно в этих районах интеграционные процессы в советскую государственно-правовую систему оказались наиболее трудными, а потому степень ожесточения и накал внутренней борьбы был порой крайне сильный.
При этом большевики сумели использовать для давления на казаков их многовековые трения с другими коренными народами Северного Кавказа, не обязательно по вине первых. Когда «аборигены — горцы», получив негласное одобрение от Троцкого и других вождей Советской России, начали принудительно выселять казаков из своих станиц, вырезать их семьи, разрушать хаты-мазанки, кладбища, церкви и другие святыни, Москва и Кремль спокойно молчали, будто не видя этих зверств.
Нечто подобное творилось и в лихие 1990-е годы.
