При этом имейте в виду, что колебания амплитуды в пространстве комплексны, модуль ее вблизи любого атома один и тот же, а фаза (в данный момент) от атома к атому сдвигается на ikb. Чтобы можно было видеть, что происходит, поставим у каждого атома вертикальную черточку, равную вещественной части амплитуды (фиг. 11.2).
Фиг. 11.2. Изменение вещественной части Сnс хn.
Огибающая этих вертикалей (показанная штрихованной линией) является, конечно, косинусоидой. Мнимая часть Сn — это тоже колеблющаяся функция, но она сдвинута по фазе на 90°, так что квадрат модуля (сумма квадратов вещественной и мнимой частей) у всех С один и тот же.
Итак, выбирая k, мы получаем стационарное состояние с определенной энергией Е. И в каждом таком состоянии электрону одинаково вероятно оказаться около любого из атомов, никаких преимуществ у одного атома перед другим нет. От атома к атому меняется только фаза. Фазы меняются еще и со временем. Из (11.14) следует, что вещественная и мнимая части распространяются по кристаллу, как волны, как вещественная и мнимая части выражения
(11.15)
Волна может двигаться либо к положительным, либо к отрицательным х, смотря по тому, какой знак выбран для k.
Заметьте, что мы предположили, что поставленное в нашем пробном решении (11.10) число k есть число вещественное. Теперь видно, почему в бесконечной цепочке атомов так и должно быть. Пусть k было бы мнимым числом —ik'. Тогда амплитуды аn менялись бы, как exp(k'xn), что означало бы, что амплитуда растет все выше и выше, когда х возрастает, или при k' отрицательном, когда х становится большим отрицательным числом. Такой вид решения был бы вполне хорош, если бы цепочка атомов на чем-то кончалась, но в бесконечной цепи атомов это не может быть физическим решением. Оно привело бы к бесконечным амплитудам и, стало быть, к бесконечным вероятностям, которые не могут отражать действительного положения вещей. Позже мы встретимся с примером, когда и у мнимых k есть смысл.
Соотношение (11.13) между энергией Е и волновым числом k изображено на фиг. 11.3.
Фиг. 11.3. Энергия стационарных состояний как функция параметра k.
Как следует из этого рисунка, энергия может меняться от Е0-2А при k=0 до Е0+2А при k=±π/b. График начерчен для положительных А, при отрицательных А кривую пришлось бы перевернуть, но область изменения осталась бы прежней. Существенно то, что в некоторой области, или «полосе» энергий допустимы любые значения энергии; вне полосы энергии быть не может. Из наших предположений следует, что если электрон в кристалле находится в стационарном состоянии, энергия его не сможет оказаться вне этой полосы.
Согласно (11.10), меньшие k отвечают более низким энергетическим состояниям Е≈Е0-2А. Когда k по величине растет (все равно, в положительную или отрицательную сторону), то энергия сперва растет, а потом при k=±π/b достигает максимума, как показано на фиг. 11.3. Для k, больших, чем π/b, энергия опять начала бы убывать. Но такие k рассматривать не стоит, они не приведут к каким-либо новым состояниям, а просто повторяют те состояния, которые уже появлялись при меньших k. Вот как в этом можно убедиться. Рассмотрим состояние наинизшей энергии, для которого k=0. Тогда при всех хn коэффициент а(хn) будет один и тот же [см. (11.10)]. Та же самая энергия получилась бы и при k=2π/b. Тогда из (11.10) следовало бы
Но, считая, что начало координат приходится на х0, можно положить хn=nb, и тогда а (хn) превратится в
т. е. состояние, описываемое этими а (хn), физически ничем не будет отличаться от состояний при k=0. Оно не представляет особого решения.
В качестве другого примера возьмем k=π/4b. Вещественная часть а (хn) изображена на фиг. 11.4 кривой 1.
Фиг. 11.4. Пара значений к, представляющих одну и ту же физическую ситуацию. Кривая 1—для k=π/4b, кривая 2 —для k=7π/4b.
Если бы k было в семь раз больше (k=7π/4b), то вещественная часть а (хn) менялась бы так, как показано на кривой 2. (Сама косинусоида смысла не имеет, важны только ее значения в точках хn.
Кривые нужны просто для того, чтобы было видно, как все меняется.) Вы видите, что оба значения k во всех хn дают одинаковые амплитуды.
Вывод из всего этого состоит в том, что все возможные решения нашей задачи получатся, если взять k только из некоторой ограниченной области. Мы выберем область от -π/b до +π/b (она показана на фиг. 11.3). В этой области энергия стационарных состояний с ростом абсолютной величины k возрастает.
