Для каждого из этих значений J имеется 2J+1 состояний с различными значениями М; М меняется от +J до -J. Каждое из них образовано из линейных комбинаций исходных состояний |а, mа; b, mb> с соответствующими коэффициентами — коэффициентами Клебша—Гордона для каждого отдельного члена. Можно считать, что эти коэффициенты дают «количество» состояния |ja, ma; jb, mb>, проявляющегося в состоянии |J,M>. Так что каждый из коэффициентов Клебша—Гордона обладает, если угодно, шестью индексами, указывающими его положение в формулах типа приведенных в табл. 16.3 и 16.6. Иначе говоря, обозначая, скажем, эти коэффициенты С (J, М; ja, ma; jb, mb), можно выразить равенство во второй строчке табл. 16.6 так:
Мы не будем здесь подсчитывать коэффициенты для других частных случаев[77]. Но вы обнаружите такие таблицы во многих книжках. Попробуйте сами подсчитать другой случай, например объединение двух объектов со спином 1. Мы же просто привели в табл. 16.7 окончательный результат.
Таблица 16.7. ОБЪЕДИНЕНИЕ ДВУХ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 1 (ja=1, jb=1)
Эти законы объединения моментов количества движения имеют очень важное значение в физике частиц, их приложениям поистине нет конца. К сожалению, у нас нет сейчас больше времени на другие примеры.
<p><strong>Добавление 1. Вывод матрицы поворота</strong><a l:href="#n78" type="note">[78]</a></p>Для тех, кто хотел бы разобраться в этом поподробнее, мы вычислим сейчас общую матрицу поворота для системы со спином (полным моментом количества движения) j. В расчете общего случая на самом деле большой необходимости нет; важно понять идею, а все результаты вы сможете найти в таблицах, которые приводятся во многих книжках. Но, с другой стороны, вы зашли уже так далеко, что у вас, естественно, может возникнуть желание убедиться, что вы и впрямь в состоянии понять даже столь сложные формулы квантовой механики, как (16.35).
Расширим рассуждения § 4 на систему со спином j, которую будем считать составленной из 2j объектов со спином 1/2. Состояние с m=j имело бы вид |+ + + ... +> (с j плюсами). Для m=j-1 было бы 2j членов типа |+ + ... + + ->, |+ + ... +- +> и т. д. Рассмотрим общий случай, когда имеется r плюсов и s минусов, причем r+s=2j. При повороте вокруг оси z от каждого из r плюсов появится множитель e+iφ/2. В итоге фаза изменится на i(r/2-s/2)φ. Мы видим, что
(16.59)
Как и в случае J=3/2, каждое состояние с определенным m должно быть суммой всех состояний с одними и теми же r и s, взятых со знаком плюс, т. е. состояний, отвечающих всевозможным перестановкам с r плюсами и s минусами. Мы считаем, что вам известно, что всего таких сочетаний есть (r+s)!/r!s!. Чтобы нормировать каждое состояние, надо эту сумму разделить на корень квадратный из этого числа. Можно написать
(16.60)
где
(16.61)
Введем еще новые обозначения, они нам помогут в счете. Ну а поскольку мы уж определили состояния при помощи (16.60), то два числа r и s определяют состояние ничуть не хуже, чем j и m. Мы легче проследим за выкладками, если обозначим
(16.62)
где [см.. (16.61)]
Далее, (16.60) мы запишем, пользуясь специальным обозначением
(16.63)
Обратите внимание, что показатель степени в общем множителе мы изменили на +1/2. Это оттого, что внутри фигурных скобок в (16.60) стоит как раз N=(r+s)!/r!s! слагаемых. Если сопоставить (16.63) с (16.60), то ясно, что
— это краткая запись выражения
где N — количество различных слагаемых в скобках. Эти обозначения удобны тем, что каждый раз при повороте все знаки плюс вносят один и тот же множитель, так что в итоге он получается в r-й степени. Точно так же все знаки минус дадут некоторый множитель в s-й степени, в каком бы порядке эти знаки ни стояли.
Теперь положим, что мы повернули нашу систему вокруг оси у на угол θ. Нас интересует Ry(θ)|rs>. Оператор Ry(θ), действуя на каждый |+>, дает
(16.64)
где С=cosθ/2 и S=sin θ/2. Когда же Ry(θ) действует на |->, это приводит к
Так что искомое выражение равно
(16.65)
Теперь надо возвысить биномы в степень и перемножить. Появятся члены со всеми степенями |+> от нуля до r+s. Посмотрим, какие члены дадут r'-ю степень |+>. Они всегда будут сопровождаться множителем типа |->s', где s'=2j-r'. Соберем их вместе. Получится сумма членов типа |+>r' |->s' с численными коэффициентами Аr', куда входят коэффициенты биномиального разложения вместе с множителями С и S. Уравнение (16.65) тогда будет выглядеть так:
(16.66)
Теперь разделим каждое Аr' на множитель [(r'+s')!/r'!s'!]1/2 и обозначим частное через Вr. Тогда (16.66) превратится в
(16.67)
[Можно просто сказать, что требование, чтобы (16.67) совпадало с (16.65), определяет Br']
Если так определить Вr', то оставшиеся множители в правой части (16.67) будут как раз состояниями|r's'>. Итак, имеем
(16.68)
где s' всегда равняется r+s-r'. А это, конечно, означает, что коэффициенты Вr' и есть искомые матричные элементы
(16.69)
Теперь, чтобы найти Br', остается немного: лишь пробиться через алгебру.
