Том 3. Квантовая механика полностью

а это, конечно, равняется просто единице, поскольку и |1>, и |2> суть базисные состояния. И амплитуда обнаружения состояния |II> в состоянии |2> тоже равна единице, так что у состояния |II> одинаковы амплитуды оказаться в каждом из базисных состояний |1> и |2>.

Но тут всплывает новая трудность. У состояния |II> полная вероятность оказаться то ли в одном базисном состоянии, то ли в другом получается больше единицы. Но это всего лишь означает, что вектор состояния неудачно «отнормирован». Чтобы исправить дело, надо вспомнить, что всегда для любого состояния обязано быть <II|II>=1. Использовав общее соотношение

полагая, что и Ф, и χ суть состояние II, и суммируя по базисным состояниям |1> и |2>, получаем

Это даст, как положено, единицу, если мы изменим наше определение С_II [см. уравнение (7.4)] и примем

Таким же путем можно построить и амплитуду

или

(7.6)

Эта амплитуда есть проекция состояния |Ф> на новое состояние |I>, обладающее амплитудами противоположного знака, для пребывания в состояниях |1> и |2>. А именно (7.6) означает то же самое, что и

или

(7.7)

откуда следует

Зачем все это нужно? С какой целью все это делается? Дело в том, что состояния |I> и |II> могут быть приняты за новую совокупность базисных состояний, особенно подходящую для описания стационарных состояний молекулы аммиака. Вы помните, что требования к совокупности базисных состояний были таковы:

Мы уже сами сделали так, чтобы было

Из (7.5) и (7.7) легко вывести, что и

Амплитуды С_I=<I|Ф> и С_II=<II|Ф> того, что любое состояние |Ф> окажется в одном из наших новых базисных состояний |I> и |II>, обязаны также удовлетворять гамильтонову уравнению вида (6.39). И действительно, если мы просто вычтем друг из друга два уравнения (7.2) и (7.3) и продифференцируем по t, то убедимся, что

(7.8)

А взяв сумму (7.2) и (7.3), увидим

(7.9)

Если за базисные состояния взять |I> и |II>, то гамильтонова матрица очень проста:

Заметьте, что каждое из уравнений (7.8) и (7.9) выглядит очень похоже на то, что получалось в гл. 6, § 6, для уравнения системы с одним состоянием. Они дают простую экспоненциальную зависимость от времени, отвечающую определенной энергии. С ростом времени амплитуды пребывания в каждом из состояний ведут себя независимо.

Найденные нами раньше стационарные состояния |ψ_I> и |ψ_II> тоже являются, конечно, решениями уравнений (7.8) и (7.9). У состояния |ψ_I> (для которого С₁=-С₂)

(7.10)

А у состояния |ψ_II> (для которого С₁=С₂)

(7.11)

Пусть мы теперь умножили (7.10) на вектор состояния |I>; тогда получится