Трудно быть принцем полностью

Для многих людей бывает трудно понять, что они имеют дело с выборкой, а не с целым, что, в свою очередь, приводит к тому, что они упускают из виду тот факт, что выборки подвержены «ошибкам выборки». Например, вам сделали анализ крови. Вы должны понимать, что результаты этого анализа относятся только к выборке, только к той толике крови, которую у вас отъяли и что эти результаты не характеризуют всю вашу кровь. Врач делает вероятностное предположение, что анализы характеризуют всю вашу кровь, и как таковое это предположение подвержено ошибке. Здесь может содержаться ошибка и она практически всегда существует, потому что клетки в вашем анализе, их композиция и их характеристики необходимым образом отличаются от характеристик всего объёма вашей крови — тест не может анализировать всю вашу кровь. Таким образом, ваш врач делает вероятностное предположение о состоянии вашей крови, основываясь на небольшой выборке.

Это подобно биопсии опухолей. Здесь всегда существует вероятность ошибки, поскольку исследованию подвергается незначительное количество клеток всей опухоли. Стенович приводит данные Тары Паркер-Поуп по поводу биопсирования рака простаты, когда исследованию подлежат лишь три тысячные части простаты. В результате ошибка диагностики достигает 20 %.

Согласитесь, даже незначительное знакомство со статистикой и теорией вероятности и, более того, применение этих знаний в реальной жизни могло бы сэкономить нам значительное количество нервной энергии.

Вот ещё один пример Стеновича. Предположим, что вирус (ВИЧ), вызывающий СПИД, встречается у одного человека на тысячу. Предположим, что существует тест, позволяющий верно диагностицировать эту болезнь у человека, имеющего этот вирус. Теперь предположим, что этот тест даёт ошибочные позитивные результаты в 5 % случаев, то есть показывает, что человек ВИЧ-положителен. Какова вероятность, что данный человек действительно является носителем ВИЧ-вируса, если мы ничего не знаем о его жизни и не принимаем во внимание историю его болезни?

Наиболее частый ответ на этот вопрос, даже среди врачей, гласит 95 %. Правильный же ответ — приблизительно 2 %. Люди слишком переоценивают информацию, относящуюся к заболеванию и совершенно упускают из виду информацию, относящуюся к частоте распространения СПИДА (только один человек из тысячи ВИЧ-инфицирован). Если будут протестированы остальные 999 человек, у которых нет вируса, то результаты покажут, что больны примерно 50 из них (0,05 умножить на 999), ввиду пятипроцентрой вероятности ошибки. Таким образом, положительно будут протестированы 51 человек и только один из них (примерно 2 %) будет действительно ВИЧ-положителен. Следовательно, принимая во внимание частоту распространения болезни и вероятность ошибки теста, можно сделать вывод, что большинство протестированных положительно на самом деле не больны СПИДом.

Хотя большинство людей соглашаются с этой логикой, изначально все они склонны недооценивать значимость частоты распространения болезни и переоценивать результаты клинических исследований. Это называется «когнитивной иллюзией», заключающейся в том, что даже если люди «знают» правильный ответ, особенности постановки задачи могут подвигнуть их принимать неправильные решения. В рассмотренной выше проблеме результаты лабораторного исследования кажутся людям конкретными и ощутимыми, в то время как частота распространения заболевания относится к смутной вероятностной информации, что в корне неправильно, так как результаты лабораторного исследования тоже вероятностны!

Решение в данном случае должно основываться на сочетании двух вероятностей — вероятностных данных лабораторного исследования и вероятности распространения болезни.

Недооценка ошибки позитивного тестирования особенно трагична в медицине. Стенович приводит результаты исследования 30 000 пожилых больных (рак простаты, лёгких и толстой кишки), в которых более одной трети исследованных получили ложноположительные результаты — людям сообщили, что у них рак, когда они были абсолютно здоровы.

Ещё один случай проявления «закона малых чисел» в правиле «старого Ромуальдыча». Работает это правило следующим образом: вам предоставляется статистически точная информация, которую вы совершенно не принимаете во внимание (например, данные о том, что среди курильщиков вероятность заболевания раком лёгких выше, чем у некурящих), потому что вы тут же вспоминаете, что «старик Ромуальдыч всю жизнь пил, курил по две пачки в день и девкам юбки задирал, а умер вовсе не от рака лёгких, но был сбит машиной, когда он в свои 90 лет пытался догнать трамвай!».

Старик Ромуальдыч появляется всегда, когда статистика нас не устраивает: