За последнее столетие одно из центральных мост в математической науке заняла созданная немецким математиком Г. Кантором теория бесконечных множеств, понятия которой отражают наиболее общие свойства математических объектов. Однако в этой теории был вскрыт ряд парадоксов, вызвавших у многих видных ученых сомнения в справедливости ее основ.В данной книге излагается в популярной форме, какими путями шла человеческая мысль в попытках понять идею бесконечности как в физике, так и в математике, рассказывается об основных понятиях теории множеств, истории развития этой науки, вкладе в нее русских ученых.Книга предназначена для широких кругов читателей, желающих узнать, как менялось представление о бесконечности, чем занимается теория множеств и каково современное состояние этой теории.
Понятие бесконечности является одним из наиболее важных и в то же время "таинственных" в науке. Еще в древности многие философы и математики задумывались над противоречивостью этого понятия. Как пишет Ф. Энгельс, "противоречием является уже то, что бесконечность должна слагаться из одних только конечных величин, а между тем это именно так. Ограниченность материального мира приводит к не меньшим противоречиям, чем его безграничность, и всякая попытка устранить эти противоречия ведет... к новым худшим противоречиям. Именно потому, что бесконечность есть противоречие, она представляет собой бесконечный, без конца развертывающийся во времени и пространстве процесс. Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности"[1].
В математике противоречия, связанные с идеей бесконечности, обострились после создания в конце XIX в. теории бесконечных множеств и последовавшего вскоре за тем открытия парадоксов этой теории. В то время, как многие ученые, не обращая внимания на такие парадоксы, широко используют в своих работах теорию множеств, другие подвергают теоретико-множественные методы в математике жестокой критике. Споры, связанные с теорией множеств, стали еще ожесточеннее после того, как группа французских математиков, пишущих под псевдонимом Николя Бурбаки, попыталась построить все здание математической науки, опираясь лишь на понятие множества. Эта попытка, восторженно встреченная рядом математиков и оказавшая значительное влияние на развитие науки XX в., подвергалась осуждению со стороны других ученых за излишнюю формализацию, попытку оторвать математическую науку от питающих ее животворных практических приложений.
В предлагаемой вниманию читателя книге рассказывается о том, как возникла и развивалась идея бесконечности в физике и математике, как строилась теория бесконечных множеств, к каким успехам и парадоксам привела эта идея, какие значительные усилия были приложены для того, чтобы устранить возникшие противоречия, на каких путях ученые пытаются найти выход из создавшихся осложнений.
В основу данной работы положена вышедшая в 1969 г. в издательстве "Наука" книга "Рассказы о множествах". Однако данная книга значительно отличается как своим содержанием, так и подходом ко многим вопросам. Новой является первая глава, где рассматривается связь между космологией, физикой и понятием бесконечности, в дальнейших главах добавлено много материала о развитии теории множеств в нашей стране, перестроена структура книги (в частности, выделены в особую главу вопросы, связанные с основаниями теории множеств). В связи с необходимостью ограничить объем книги пришлось опустить некоторые вопросы, в частности о связи теории множеств с элементарной математикой.
Изучение сделанных из камня изображений и нанесенных охрой и углем рисунков на стенах пещер убедительно показывает, что уже десятки тысяч лет тому назад люди не только накапливали сведения о поведении животных и птиц, свойствах трав и плодов, но и пытались установить закономерности окружающего их мира, понять его происхождение. Так складывались древнейшие мифы о "Великой праматери" — общем предке людей и животных, о тотемах — покровителях племени, а влиянию потусторонних сил приписывал древний человек такие грозные явления природы, как гром и молния, землетрясения и ураганы.
По мере развития земледелия и животноводства возрастала роль наблюдений за небом: положение небесных светил подсказывало, когда надо начинать сеять или убирать урожай, с неба шел дождь, орошавший поля и пастбища, с неба же опускалась на посевы и сады саранча — один из самых опасных врагов древнего земледельца. Поэтому древняя мифология охватывала не только Землю, но и небо.
Неудивительно поэтому, что люди стали обожествлять силы природы и помещать жилище богов на небесах. Так возникли первые мифы о происхождении мира, о взаимосвязи явлений природы. Почти во всех этих мифах первоначальное состояние мира описывалось либо как хаос, либо как океан. А потом происходило разделение неба и земли, воды и суши. Например, в аккадских мифах рассказывается, как бог Мардук победил богиню Тиамат, символизировавшую первоначальный океан, и сотворил небо и землю из ее гигантского тела, разрубив его надвое.
Более символизированный вид имели мифы древней Индии, созданные арийскими племенами, вторгшимися в Индостан где-то между 1500 и 1200 годами до н. э. В них рассказывается о борьбе данавов и адитьев, что можно примерно перевести как
