Путешественники Бесподобной придумали способ умножения и деления четырехмерных векторов, позволяющий построить на их основе полноценную числовую систему, похожую на более знакомые нам вещественные и комплексные числа. В нашей культуре эта система носит название кватернионов и была открыта Уильямом Гамильтоном в 1843 г. Подобно тому, как вещественные числа образуют одномерную прямую, а комплексные числа – двумерную плоскость, кватернионы формируют четырехмерное пространство, что делает их идеальной числовой системой для описания геометрии в четырех измерениях. В нашей Вселенной полноценное использование кватернионов невозможно в силу принципиального отличия между временем и пространством, однако в Ортогональной Вселенной геометрия 4-пространства и арифметика кватернионов органично сочетаются друг с другом.
В том варианте, который применяется жителями Бесподобной, главные направления четырехмерного пространства-времени называются Восток, Север, Верх и Будущее, а соответствующие им противоположные направления – Запад, Юг, Низ и Прошлое. Будущее играет роль единицы: при умножении или делении произвольного вектора на Будущее он не меняется. При возведении в квадрат любого из трех других главных направлений – Восток, Север и Верх – всегда получается Прошлое, или минус единица, поэтому в данной числовой системе существуют три независимых квадратных корня из минус единицы; для сравнения, в системе комплексных чисел такой корень всего один – это i. (Разумеется, что при возведении в квадрат противоположных направлений – Запад, Юг и Низ – также получается Прошлое по аналогии с тем, как в системе комплексных чисел квадрат –i также равен –1, однако эти направления не считаются независимыми квадратными корнями).
Умножение в данной системе не обладает свойством коммутативности: a x b, вообще говоря, не совпадает с b x a.
Каждому ненулевому вектору v соответствует обратный вектор, обозначаемый v-1, и удовлетворяющий следующему соотношению:
v x v-1 = v-1 x v = Будущее
Так, Восток-1 = Запад, Север-1 = Юг, Верх-1 = Низ, а Будущее-1 = Будущее. В первых трех случаях обратный вектор совпадает с противоположным, но в общем случае это неверно.
Векторное частное w / v определяется как результат умножения (справа) на v-1 :
Поскольку умножение не обладает свойством коммутативности, при вычислении обратного вектора или частного двух векторов необходимо внимательно следить за порядком аргументов. Обращение произведения двух векторов меняет их порядок на противоположный:
(v x w)-1 = w-1x v-1
Перемена мест сомножителей гарантирует, что исходные векторы будут взяты в надлежащем порядке и дадут в итоге результат, равный Будущему.
(v x w)-1 x (w-1x v-1) = v x Будущееx v-1 = Будущее
(w-1x v-1)x (v x w)-1 = w-1 x Будущееx w = Будущее
Аналогичным образом порядок меняется и при делении на произведение векторов:
u / (v x w)= u x (v x w)-1 = u x w-1x v-1 = (u / w)/ v
Хотя в таблицах умножения и деления приведены только результаты для четырех главных векторов, эти операции применимы к любым векторам (исключение составляет деление на нулевой вектор). В общем случае произвольный вектор можно представить в виде суммы векторов, кратных четырем главным направлениям:
v = a • Восток + b • Север + c • Верх + d • Будущее
Здесь a, b, c, d – вещественные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Определим теперь еще один вектор w, используя другой набор вещественных чисел A, B, C, D:
w = A • Восток + B • Север + C • Верх + D • Будущее
Для умножения v и w мы можем воспользоваться правилами обычной алгебры, принимая во внимание порядок сомножителей:
v x w =
= (a • Восток + b • Север + c • Верх + d • Будущее)x (A • Восток + B • Север + C • Верх + D • Будущее) =
x
= aA• Восток x Восток + aB• Восток x Север +
+ aC• Восток x Верх + aD• Восток x Будущее +
+ bA• Север x Восток + bB• Север x Север +
+ bC• Север x Верх + bD• Север x Будущее +
+ cA• Верх x Восток + cB• Верх x Север +
+ cC• Верх x Верх + cD• Верх x Будущее +
+ dA• Будущее x Восток + dB• Будущее x Север +
+ dC• Будущее x Верх + dD• Будущее x Будущее =
= (aD + bC – cB + dA) • Восток +
+ (–aC + bD + cA + dB) • Север +
+ (aB – bA + cD + dC) • Верх +
+ (–aA — bB – cC + dD) • Будущее
Длину вектора можно определить с помощью четырехмерного аналога теоремы Пифагора. Для обозначения длины вектора v мы будем использовать запись |v|. Через компоненты четырех главных направлений она выражается следующим образом:
|v|2 = a2 + b2 + c2 + d2
При умножении двух векторов длина их произведения совпадает с произведением длин сомножителей:
|v x w| = |v||w|
