- Если взять поверхность обыкновенного шара, то есть сферу, то из нее возможно получить некоторый своеобразный треугольник.
Тут Коникос разрезал сферу своим широченным ножом ровно пополам, по экватору, и толкнул нижнюю половинку; она сдвинулась, откатилась и исчезла, а верхняя половина медленно опустилась на пол. Коникос снова разрезал ее пополам. А затем получившуюся четвертинку сферы он рассек еще раз надвое.
- Ну, вот-с! - сказал он, поглядывая на эту восьмую часть сферы. - Я утверждаю, что я получил треугольник. И я попрошу тебя, Илюша, выяснить, чему равняется сумма его углов.
- Мне кажется, - отвечал Илюша, - что вот этот угол, который поближе, очень похож на прямой... Но только я не уверен, что его можно называть прямым, просто потому, что не знаю, как измеряется угол между двумя кривыми.
- Измеряется он довольно просто, - отвечал Коникос. - Мы в таком случае меряем угол не между самыми кривыми, а между двумя их касательными, касающимися наших кривых как раз в той точке, которая есть вершина нашего угла. Ясно?
- Да, как будто ясно, - отвечал мальчик.
Илюша внимательно осмотрел получившийся у Коникоса кусок сферы, но сперва не обнаружил во всем этом ничего интересного. Разрезали шар на восемь частей - что же тут особенного? Иной раз так и арбузы режут...
- 257 -
- Я думаю, - заявил Илюша приглядевшись, - что этот кусок сферы образует с плоскостью, на которой он лежит, только прямые углы. Угол А прямой (смотри на картинку!), угол В прямой, и угол С тоже прямой! Следовательно, поверхность шара- сфера, - разрезанная таким образом, дает треугольник, сумма углов которого равняется трем прямым углам. Но как же это может быть? Ведь в настоящем треугольнике сумма углов равна двум прямым углам!.. Впрочем, это треугольник кривой, а если его растянуть на плоскости...
- А ну попробуй растяни! - сказал Асимптотос, приподняв свой треугольник и подавая его Илюше. - Только не рвать!
Илюша начал растягивать, но оказалось, что этот странный треугольник не хочет растягиваться. Когда Илюша нажал на него покрепче, он выгнулся в другую сторону, как зонтик под сильным ветром, но растягиваться не соглашался.
- Вот как, Илюша! - сказал Радикс. - Учил ты, учил планиметрию, а как до трех прямых дошло, так и запутался!
Ты прими во внимание: все, что ты учил о треугольниках, правильно, пока они на плоскости. И там все евклидовы теоремы правильны. Так и говорится: "евклидова геометрия".
А на шаре мы получаем не-евклидову геометрию. Если взять огромный шар и рассматривать маленькие треугольники, то чем шар больше, тем ближе их геометрия приближалась бы к евклидовой. Если бы радиус шара был безгранично велик, тогда бы и на его поверхности Евклид оказался прав. А на данной сфере в таком треугольнике сумма углов зависит от его площади, тогда как на плоскости это величина постоянная и равна 2d. А это сферический треугольник, но не плоский.
- И существует, - добавил Коникос, - особая сферическая тригонометрия, которая весьма необходима мореплавателям и астрономам. Она даже появилась на свет ранее обычной в одном астрономическом сочинении Клавдия Птолемея, так называемом "Альмагесте", написанном около сто тридцатого года вашей эры в Александрии.
"Так, так, так! - подумал Илюша. - Вот почему Фавн говорил об альмагестическом сыре и прямых углах!"
- До Коперника, - продолжал Коникос, - это было самое серьезное и самое авторитетное сочинение по астрономии.
- 258 -
Европейцы узнали его в арабском переводе, и под этим арабским названием "Альмагест" оно и стало известно. Именно там и изложена геоцентрическая теория Птолемея. Настоящее заглавие этого сочинения - "Великое построение математическое". Оно несомненно заслуживает такого названия, ибо долгое время служило на пользу людям.
- Но ведь это же было неверно, - сказал Илюша, - раз он считал, что в центре нашей системы находится Земля, а не Солнце? Мне вспоминается, что у Ломоносова есть даже стихи по этому поводу...
- Какие такие стихи? - спросил Гадикс.
- Постой-ка, сейчас вспомню, - отвечал мальчик. - Ага... вот как:
