- Совсем из головы вон! - сокрушенно сказал Асимптотос. - А ведь и вправду обещали! Поди-ка, Коникос, поищи-ка, где у нас там трактриса завалилась.
Не прошло и минуты, как Коникос вернулся весьма смущенный и раздосадованный.
- Пропала, скажи на милость! Истинное наказание!
- Ничего, - успокоил Асимптотос. - Подумаешь, какое горе! Возьмем да и новую сделаем.
Коникос принес довольно большую цепь с тяжелыми звеньями, вроде корабельной, и повесил ее за два конца на стену.
Цепь угрюмо повисла, образуя почти дугу, открытую сверху.
- 273 -
- Похоже на параболу, - шепнул Илюша Радиксу.
- Неверно. Впрочем, подобную ошибку в свое время сделал даже сам Галилей, так что тебе и подавно простительно.
Однако все же ты должен запомнить, что это вовсе не парабола, а так называемая цепная линия. Она только на маленьком участке у вершины очень похожа на параболу.
- К этой цепи у нас, - сказал Асимптотос, - прилажена особая ниточка, гибкая, нерастяжимая. Сейчас я ее отделю от цепи. Это особый способ чертить кривые - при помощи такой ниточки. Ты умеешь чертить по линейке, умеешь чертить циркулем, а это еще один способ чертить. Смотри внимательно!
Я отщипну эту ниточку в самой точке вершины цепи, то есть цепной линии, и буду, крепко все время натягивать нить, следить за тем, какую кривую опишет конец нити в той плоскости, в которой находится кривая. Так вот эту кривую, которую опишет конец нити, мы называем эвольвентой данной исходной, начальной кривой. А кривая, с которой надо сматывать нить, чтобы получить некую требуемую кривую, называется эволютой этой последней.
При этих словах Асимптотос отщипнул что-то от цепи в самой нижней ее точке. В руках его оказалась тонкая блестящая нить, которую наш ученый старичок начал как бы сматывать с цепи, все время крепко натягивая нить вниз и направо.
- 274 -
И конец нити послушно начертил новую своеобразную кривую, совершенно непохожую на ценную линию.
- Ну вот тебе и трактриса! - радостно воскликнул Коникос. - Сам Лейбниц дал ей это имя.
- Так что трактриса есть эвольвента цепной линии? - спросил Илюша.
- Точно! - отвечал Коникос. - Оказывается, ты кое-что соображаешь!
- Но если, - снова начал Илюша, - это особый способ чертить кривые, то должен ведь быть какой-нибудь общий прием, чтобы начертить так любую кривую?
- Это не так уж сложно, - вмешался Асимптотос. - Ты вот посмотри на перпендикуляры к касательным, которые именуются нормалями данной кривой.
- Радиус окружности и есть ее нормаль? - спросил Илюша.
- Справедливо! - отвечал Асимптотос. - Посмотри и заметишь, что касательные эволюты суть не что иное, как нормали эвольвенты. Поэтому, если тебе задана эвольвента, то построй к ней побольше нормалей: все они будут касательными к эволюте, которую эти касательные очень ясно обозначат на чертеже. Это будет кривая, плавно огибающая все эти прямые, касаясь их.
- Эволют у нас девать некуда, - заметил Коникос, - целая кладовая. Но можно еще и по-другому все это проделать.
Возьми отрезок прямой, приложи его в одной точке к шаблону эволюты и кати его по кривой, только чтобы он не скользил.
Вот ты и получишь эвольвенту безо всякой нити, потому что какая-нибудь заранее отмеченная точка на катящемся отрезке вычертит эвольвенту.
Радикс сейчас же объяснил Илюше, что он на досуге и сам все это может проделать. Надо взять топкую и нежесткую нитку примерно в сорок сантиметров длиной, намочить ее и мокрую повесить на стену на два гвоздика, которые вбиваются на расстоянии около пятнадцати сантиметров друг от друга.
А на то место, куда мы повесим нить, надо заранее прикрепить кнопками лист белой бумаги. Затем следует аккуратно начертить кривую, которую образует мокрая нитка, - это и будет приблизительно цепная линия. По этому чертежу надо изготовить картонный или фанерный шаблончик. В верхнем его углу следует закрепить нитку, обвести се по краю шаблона, а у вершины сделать петельку. Если теперь взять карандаш (сделав предварительно маленькую зарубку на графите) и вставить в эту петельку, то карандаш - если осторожно сматывать нитку - вычертит трактрису.
Коникос взял кривую и приладил ее, кряхтя и ворча, к диаграмме с картезианскими осями, повернув ее на девяносто градусов.
- 275 -
- Трактриса, - сказал он, передохнув после своей нелегкой работы, - это кривая весьма древнего происхождения.
Одно из замечательных свойств ее заключается в том, что если к ней провести касательную в любой точке, то расстояние по касательной от точки касания до некоторой прямой будет постоянным (удаляясь от своей вершины, трактриса неограниченно приближается к этой прямой, и на нашем чертеже эта прямая будет перпендикулярна к оси цепной линии). Если поместить конец нити на расстоянии а от горизонтальной прямой, а потом другой ее конец тянуть вдоль этой прямой, то первый конец и опишет трактрису. Отсюда и название ее (от латинского слова "тянуть"). Если же теперь мы прикрепим трактрису по ее горизонтальной оси к Центрифуге, то мы и получим искомую поверхность вращения, то есть именно псевдосферу.
