Волшебный двурог полностью

«Ишь ты! — подумал Илюша. — Как же так выходит?» Но когда он попробовал в уме перемножить скобки левой части, то убедился, что как раз так и получается. «Действительно, — подумал он, — когда я умножу q³ на q, то выйдет q⁴; когда умножу 1 на (— 1), то получится —1, а все остальное взаимно уничтожается, потому что от умножения на q всех членов,

— 194 —

 кроме первого, я получу q³, q², q и все будут с плюсом, от умножения на (—1) всех членов, кроме последнего, я получу те же q³, q², q, но все будут с минусами. Значит, только и останется q⁴ и — 1. Все верно!»

Тогда в скобки влез еще один человечек, и вышло:

(q⁴ + q³ + q² + q + 1) (q — 1) = q⁵ — 1.

Тут Илюша, рассуждая совершенно таким же образом, пришел снова к заключению, что и это тоже правильно.

А затем человечки стали так:

(q^n-1 + q^n-2 + … + q⁴ + q³ + q² + q + 1) (q — 1) = qⁿ — 1.

«Так, — подумал Илюша. — Тут начинается с q^n-1. To-есть он хочет сказать, что это правило годится для любой степени».

Подумав немного, Илюша убедился, что Знаменатель совершенно прав.

Вслед за этим его новый приятель быстро схватил скобочку (q — 1) и перенес в знаменатель правой части. Получилось:

q^n-1 + q^n-2 + … + q⁴ + q³ + q² + q + 1 = (qⁿ — 1) / (q — 1).

Затем человечки быстро поменялись местами, и вышло:

1+ q + q²+ q³ + q⁴+…+q^n-2+ q^n-1 = (qⁿ — 1) / (q — 1).

Теперь человечек Знаменатель изобразил на своем личике самую приятную улыбку и снова показал получившуюся формулу Илюше, как бы приглашая его полюбоваться тем, что получилось.

Илюша внимательно посмотрел на формулу и подумал:

«Значит, налево стоит сумма геометрической прогрессии, у которой первый член равен единице. И теперь он получил выражение для этой суммы».

Знаменатель улыбнулся и привел двух человечков, у которых на жилетках стояла цифра «3». Затем между ними возник знак равенства, а у левого человечка тройка заменилась буквой, и вышло:

a₁ = 3.

«Так! — подумал Илюша. — Ну, я уж это знаю: первый член равен тройке».

— 195 —

Тогда у обоих человечков на жилетках появились одинаковые буквы. Человечек Знаменатель поставил одного к левой части своего равенства, а другого — к правой, и вышло:

a₁(1 + q + q²+ q³ + q⁴+…+ q^n-2+ q^n-1 ) = a₁ (qⁿ — 1) / (q — 1).

«Обе части он умножил на первый член прогрессии, — подумал Илюша. — Это можно, конечно. Ну, и что ж у нас теперь вышло? Эх! Да это теперь как раз и получилась сумма всей прогрессии!»

В это время появилась какая-то длинная пожилая дама, которая взглянула на Илюшу с возмущением и пожала в ужасе плечами. По-видимому, это была очень нервная особа, потому что человечек Знаменатель обращался с ней до крайности предупредительно. Он подвел ее к своему равенству.

Рыжая дама горестно вздохнула, и на груди ее смутно вырисовалась буква S. «Сумма!» — подумал Илюша, а человечек Знаменатель сочувственно кивнул ему, как бы говоря:

«Пренеприятная особа! Ну, да ведь ничего не поделаешь!»

И получилось следующее равенство:

S = a₁(1+ q + q²+ q³ + q⁴+…+q^n-2+ q^n-1 ) = a₁ (qⁿ — 1) / (q — 1),

с чем Илюша не мог не согласиться, а затем вся серединка формулы исчезла, и появилось окончательное выражение суммы:

S = a₁ (qⁿ — 1) / (q — 1)

— 196 —

Илюша громко и отчетливо произнес:

— Для того чтобы найти сумму геометрической прогрессии, нужно первый член прогрессии умножить на дробь, числитель которой равен разности между знаменателем прогрессии в степени, равной числу членов, и единицей, а знаменателем этой дроби является разность между знаменателем прогрессии и единицей.

Затем человечек Знаменатель разорвал свою дробь надвое:

S = a₁ [qⁿ / (q — 1) — 1 / (q — 1)]

а потом открыл скобки:

S = a₁qⁿ / (q — 1) — a₁ / (q — 1)

А вслед за тем Знаменатель еще раз поглядел на Илюшу и важно поклонился ему.

На лице его было написано полное удовлетворение всем происшедшим.

Рыжая дама сжала свои костлявые пальчики и смиренно посмотрела вверх. Илюша тоже машинально поглядел вверх и вдруг увидел, что на маленьком парашютике спускается крохотный, с кулачок, плюшевый Мишка.

Мишка спустился, встал на задние лапки и сказал Илюше, что его зовут Эн.

— Значит, ты число членов прогрессии?

— Угадал! — пискнул Мишка.

Вслед за этим началось акробатическое представление. Рыжая дама, стараясь не глядеть на Илюшу, стала слева. За ней в воздухе повис знак равенства. Затем Знаменатель повесил в воздухе две большие дробные черты, между ними приладил длинный тонкий минус. При этом он вдруг три раза щелкнул пальцами и превратился из одного человечка Знаменателя в троих, совершенно одинаковых. Один из них забрался на первую из двух дробных черт, рядом с первым членом прогрессии.

Плюшевый Мишка вдруг страшно оживился, прыгнул, точно кузнечик, и прямо

— 197 —

с пола перелетел ему на тулью цилиндра. Получилась снова уже известная Илюше формула:

S = a₁qⁿ / (q — 1) — a₁ / (q — 1)

Буква n, которую Мишка столкнул своей плюшевой лапкой с цилиндра человечка Знаменателя, кое-как приподнялась с пола и жалобно пропищала:

— Я буду больше единицы!