Самое позднее при переходе в старшую ступень многие ученики начинают осознавать, насколько важно понимать математику. Они узнают, что в большинстве случаев как теоретическое, так и практическое профессиональное обучение во многих областях доступно только тем, кто хорошо знает математику. Математика имеет большой вес в современном обществе. Конечно, это можно было бы считать благоприятным поводом для пробуждения новых интересов. Но вряд ли стоит учителю слишком прибегать к этому внешнему мотиву. Уроки математики должны на протяжении всех школьных лет служить развитию личности, а значит, должны иметь собственное значение.
Наверное, красивее всех о значении математических упражнений сказал Платон. В «Государстве» он пишет: «С помощью математики очищается орган души и, как в очищающем огне, пробуждается к новым жизненным силам, в то время как другие занятия его уничтожают и лишают зрения; он же заслуживает быть сохраненным более, чем тысяча телесных глаз, ибо только он видит истину».
И как же далеки от этой трактовки бывают шестнадцатилетние! «Зачем это нужно?» — симптоматичный вопрос. В классе сидят подростки с только что разбуженными интеллектуальными способностями и с желанием сделать что-нибудь практическое в этом мире. Однако совсем не трудно занять их проблемой, не имеющей никакого отношения к практической деятельности, если только поставленная задача будет обращена к процессу их внутреннего развития. Проблема «ханойских башен» может служить примером такой задачи, которая сначала обращается к комбинаторному мышлению, а потом выходит за его пределы. Ханойская башня состоит из нескольких камней с дырками, нанизанных на вертикальный стержень. Самый нижний камень — самый большой, а потом величина их последовательно уменьшается в направлении вверх. Рядом стоят два пустых стержня. Вопрос: сколько перемещений камней нужно сделать, чтобы построить башню на одном из пустых стержней при условии, что больший по размеру камень никогда не может лежать над меньшим? Предположим, что у нас четыре камня. Ученикам нужно не так много времени, чтобы путем проб найти, что требуется х -15 перемещений для требуемого построения башни. Класс сразу же сам спросит, сколько необходимо перемещений при произвольном количестве камней. Некоторые посмотрят, как будут обстоять дела, если имеется меньше четырех камней, и выяснят: один камень требует одного перемещения, два камня три перемещения, а три камня семь перемещений. Может быть в этой числовой последовательности есть какая-нибудь характерная закономерность, указывающая на общую формулу? Нашли след, а выводит ли он на правильный путь? Правильно ли это предположение? Ученики проверяют эту гипотезу в случае с пятью камнями — да, догадка правильная!
Но как же доказать ее для произвольного числа камней? Ведь не можем же мы без конца строить все большие башни. Метод проб, пригодный в мире чувств, тут не может бесконечно выручать. Мы должны думать, интенсивно искать какую-то решающую точку до тех пор, пока мысленно не научимся строить безгранично большие башни. И где же эта решающая точка? Мы исследуем сначала, как увеличивается число перемещений с прибавлением одного камня. Башня из пяти камней строится так: сначала строится башня из четырех (меньших) камней на втором стержне, а затем перемещается пятый камень на стержень N3. На последнем шаге на этот стержень переносится вся башня из 4 камней. Число перемещений, значит, Х5 = Х4 + 1 + Х4 = 15 + 1 + 15 = 31. Таким же будет соотношение и в башнях любой величины. Мы можем сделать этот шаг от 4 к 5, от 5 к 6 и так далее до бесконечности. Это открытие позволяет вывести формулу числа перемещений для башен любой величины.
