При выводе формулы примем следующие обозначения: К — календарное число месяца; М — коэффициент месяца; J — полный номер года н. э.; Д — порядковый номер года в столетии; Г' — сдвиг дней недели по годам; Г — коэффициент года; В — коэффициент века; С — число полных прошедших столетий; [] — целая часть частного от деления (неполное частное); | | — остаток от деления, причем если делимое меньше делителя, остаток равен делимому; d — порядковый номер дня недели (0 — воскресенье, вс; 1 — понедельник, пн; 2 — вторник, вт; 3 — среда, ср; 4 — четверг, чт; 5 — пятница, пт; 6 — суббота, сб).
День недели календарной даты определяется как остаток от деления суммы чисел К, М, Г и В на 7:
d
Сделаем предположение, что 1 января 1 г. п. э. был понедельник (= 1). Тогда для дат января первого года день недели будет определяться по формуле
d = |К / 7 |.
Так как в январе 31 день, то день недели в феврале первого года определится по формуле
d = |(К + (31–28)) / 7 | = |(K + 3) / 7 |.
Здесь 28 — ближайшее к 31 число, кратное семи, которое мы вычитаем для упрощения вычислений.
Так как в феврале первого года 28 дней, то день недели в марте определяется так же, как и в феврале. В марте 31 день, поэтому для апреля получим формулу
d = |(К + 3 + (31–28)) / 7 | = |(K + 6) / 7 |.
Аналогично получим формулы для остальных месяцев. В этих формулах числа, прибавляемые к календарному числу К, суть коэффициенты месяцев М, которые мы свели в табл. 9.
Таким образом, день недели для первого года н. э. будет определяться по формуле
d = |(K + M) / 7 |. (2)
Объединив повторяющиеся в табл. 9 значения М для разных месяцев, получим табл. 10.
Так как в простом году 52 недели и один день (365 = 52×7 + 1), то для второго года н. э. календарная формула примет вид
d = |(K + M + 1) / 7 |.
а для третьего
d
Следующий год (четвертый) — високосный; в нем 366 дней (за счет увеличения числа дней в феврале: 29 вместо 28). Поэтому для 4 г. н. э. календарная формула принимает вид для января и февраля
d = |(K = M + 3) / 7 |.
а для месяцев с марта по декабрь
d = |(K = M + 4) / 7 |.
В табл. 11 приведены коэффициенты М для високосных (вис.) и невисокосных — простых (пр.) лет. Так как сдвиг дней недели по годам Г' в четырехлетиях 1–4, 5–8, 9–12 и т. д. происходит одинаково, составим таблиц значений Г' для J от 1 до 60 лет (табл. 12). Мы видим, что в каждом следующем четырехлетии значение сдвига Г' «увеличивается» на 5. Это позволяет выразить его для високосных годов (Jвис) в виде формулы
Г' = |(5(Jвис:4) — 1) / 7)|
а для простых (J
Г' = |(5 (Jвис: 4) — 1 + (Jпр — Jвис)) / 7 |,
где Jвс — ближайший меньший високосный год [53], а так как
Jвис: 4 = [Jпр: 4],
(3)
то общей формулой для Г' для простых и високосных годов будет
Г' =|(J + [J: 4] — 1) / 7 |.
Упростим формулу (3), убрав в ней «—1». Чтобы сумма М + Г в формуле (1) осталась неизменной, уменьшим на единицу значения коэффициентов М в табл. 11 (при этом 0 считается равным 7). Новые значения коэффициентов М приведены в табл. 13, а формула (3) примет вид
Г' = |(J + [J: 4]) / 7 |.
(4)
В формуле (4) полный порядковый номер года J, выражающийся для нашего времени четырехзначными числами, усложняет вычисления. Если обозначить число тысяч буквой
J= 1000а + 100b + 10с + f
и тогда
[J: 4] = 250а + 25b + [(10с + f): 4],
а
J + [J: 4] = 100a + 100b + 10c + f + 250a + 25b + [(10c + f): 4] = 1250а+ 125b + 10c + f + [(10c + f): 4].
Так как
|(1250a + 125b) / 7 | = |(7×170a + 60a + 7×17b + 6b) / 7 | = |6(10a + b) / 7 |.
то
(J + [J: 4]) / 7 = 10c + f + |(10с + f): 4 | + 6 (10а + Ь) / 7.
Если же учесть, что 10а + b = С — это число полных прошедших столетий (например, для 1986 г. С = 19 = 10×1 + 9), а 10с + f = Д — порядковый номер года в столетии, то формула (4) примет вид
Г' = |(Д + [Д: 4]) / 7 | + |6c / 7 |.
Значения второго слагаемого с течением веков циклически повторяются (см. табл. 14); это коэффициент века В. Первое же слагаемое будет коэффициентом года Г,
Г' = |(Д + [Д: 4]) / 7 |.
Следует учитывать, что порядковый номер Д года J в столетии имеет значения от 1 до 100, и поэтому для всех вековых лет, например 1800, 1900, 2000 гг. и т. д., Д = 100. Для I в. (годы 1–100) число полных прошедших столетий С = 0, для II в. (годы 101–200) С = 1 и т. д.
В табл. 14 приведены значения коэффициента века В (по старому стилю) для н. э.; из нее следует, что повторяемость юлианского. календаря происходит через 700 лет.
В начале изложения мы условно приняли, что первый день нашей эры (1 января 1 года первого века) был понедельником. Установим теперь значения коэффициентов М, которые дадут возможность правильно определять дни недели. Для этого используем точную дату какого-либо известного события.
