Занимательно о микроконтроллерах полностью

Рассмотрим, как можно записать рациональное число. Ранее, рассматривая целые числа, мы предполагали, что в двоичном числе запятая, разделяющая целую и дробную части, находится правее самого младшего разряда. Но кто сказал, что она должна всегда находиться именно в этом месте? Мы можем договориться, что запятая, разделяющая целую и дробную части двоичного числа, находится слева от самого старшего разряда, и тогда в такой переменной можно будет записывать только дробные числа, меньшие 1,0₁₀. Формат 8-разрядного дробного беззнакового двоичного кода приведен на рис. 4.11. На рисунке приведены два числа, записанных в этом коде.

Рис. 4.11.Формат 8-разрядного дробного беззнакового двоичного кода

Или договоримся, что она находится точно посередине кода, и тогда мы сможем записывать числа, содержащие как целую, так и дробную части. Формат такого 8-разрядного беззнакового двоичного кода приведен на рис. 4.12. На рисунке приведены два числа, записанных в этом коде.

Рис. 4.12.Формат 8-разрядного смешанного беззнакового двоичного кода

Остальные виды двоичных кодов, используемых для представления чисел с фиксированной запятой, рассматривать не будем. Они строятся точно так же, как и для целых чисел.

Представление рациональных чисел в двоичном коде с плавающей запятой

Часто приходится обрабатывать очень большие числа (например, расстояние между звездами) или, наоборот, очень маленькие числа (например, размеры атомов или электронов). При таких вычислениях пришлось бы использовать числа с фиксированной запятой очень большой разрядности. В то же время нам не нужно знать расстояние между звездами с точностью до миллиметра. Для вычислений с такими величинами числа с фиксированной запятой неэффективны.

В десятичной арифметике в таких случаях число записывается в виде мантиссы, умноженной на 10 в степени, отображающей порядок числа, например:

2∙10⁵; 1,6∙10^-38.

В алгебре такое представление рациональных чисел называют стандартным видом числа. В двоичной арифметике тоже используется похожая форма записи чисел — представление с плавающей запятой (часто также называемое представлением с плавающей точкой).

А теперь рассмотрим промышленные стандарты, используемые для представления чисел с плавающей запятой в компьютерах. Существует стандарт IEEE 754 для представления чисел с одинарной точностью (float) и с двойной точностью (double). Для записи числа в формате с плавающей запятой одинарной точности требуется 32-битовое слово.

Для записи чисел с двойной точностью требуется 64-битовое слово. Чаще всего числа хранятся в нескольких соседних ячейках памяти процессора. Форматы одинарной точности и удвоенной точности числа с плавающей запятой приведены на рис. 4.13.

Рис. 4.13.Форматы чисел с плавающей запятой

На рис. 4.13 над полями числа с плавающей запятой показан номер двоичного разряда, а внизу двоичный вес каждого разряда. При этом буквой S обозначен знак числа, 0 — это положительное число, 1 — отрицательное число, е обозначает смещенный порядок числа. Смещение требуется, чтобы не вводить в число еще один знак. Смещенный порядок — всегда положительное число. В формате одинарной точности для порядка выделено 8 битов. Для смещенного порядка двойной точности отводится 11 битов. Для формата одинарной точности принято смещение 127, а для формата двойной точности — 1023. В десятичной мантиссе числа стандартного вида старший разряд — это цифра от 1 до 9. Старший разряд двоичной мантиссы — всегда 1. Поэтому для хранения старшей единицы двоичной мантиссы не выделяется отдельный бит. Единица подразумевается, как и запятая, отделяющая дробную часть от целой. Кроме того, в формате чисел с плавающей точкой принято, что мантисса всегда больше 1. То есть значения мантиссы лежат в диапазоне от 1 до 2.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Определить число с плавающей запятой, лежащее в четырех соседних байтах:

11000001    01001000    00000000    00000000.

• Знаковый бит, равный 1, показывает, что число отрицательное.

• Экспонента 10000010 в десятичном виде соответствует числу 130. Вычтя число 127 (смещение) из 130, получим число 3.

• Теперь запишем мантиссу с учетом неявной единицы:

100 1000 0000 0000 0000 0000      1,1001

• И, наконец, определим десятичное число: 1100,1₂ = 12,5₁₀.

2. Определить число с плавающей запятой, лежащее в четырех соседних байтах:

11000011    00110100    00000000    00000000.

• Знаковый бит, равный 1, показывает, что число отрицательное.

• Экспонента 10000110 в десятичном виде соответствует числу 134. Вычтя число 127 из 134, получим число 7.

• Теперь запишем мантиссу:

011 0100 0000 0000 0000 0000     1,01101.

• И, наконец, определим десятичное число: 10110100₂ = 180₁₀.