Математиком, к которому он обратился, был не кто иной, как его преданный друг Марсель Гроссман, не впервые уже выручавший Эйнштейна из затруднительного положения. По счастливому стечению обстоятельств, — а может быть, волею судьбы — область математики, в которой тот специализировался, в точности соответствовала потребностям Эйнштейна, и без существеннейшей помощи Гроссмана в математическом оформлении общей теории относительности эта теория еще долгое время не могла бы стать достоянием науки. Хотя это сотрудничество, скорее всего, было довольно необычным, поскольку научное мировоззрение Гроссмана — математика до глубины души — в корне отличалось от мировоззрения его друга — физика. Об этом прекрасно свидетельствует история, рассказанная Эйнштейном в его «Автобиографических набросках», которые были написаны им незадолго до смерти для сборника, выпущенного в честь столетней годовщины со дня основания Цюрихского политехникума. Вспоминая свои студенческие годы, Эйнштейн писал:
«[Гроссман] сделал однажды такое прекрасное, характерное замечание, что я не могу его здесь не процитировать: „Я полагаю, что из изучения физики я все же почерпнул кое-что существенное. Когда раньше я садился на стул и ощущал еще остаток тепла, которое принадлежало моему „предсидетелю“ мне было неприятно. Все это совершенно прошло, так как физика научила меня, что теплота есть нечто совершенно безличное“».
Как мы помним, перед Эйнштейном стояла математическая задача вывода уравнений, соответствующих принципу общей ковариантности. Вероятно, еще в Праге кто-то из коллег говорил Эйнштейну, что нужный ему математический метод уже создан. Однако осваивать его Эйнштейн начал лишь в Цюрихе при всемерной помощи Гроссмана. Надо сказать, что овладеть этим «оружием» было нелегко. Сейчас этот метод называют
Тензорные уравнения были именно тем, что искал Эйнштейн: они не отдавали предпочтения какой-либо системе координат. На их основе и с помощью Гроссмана он мог теперь осуществить свой «план кампании» и дать математическое представление гравитации. Эйнштейн начал с определения прямых мировых линий в пространстве — времени. Еще до этого, отмечая математические эффекты, сопровождающие переход в Aclab, он пришел к выводу, что скорость света не постоянна, а связана с гравитацией. Теперь же Эйнштейн получил соответствующие уравнения для свободных частиц при переменной с, а это и была, пусть в примитивной форме, та гравитационная теория, к которой он стремился. А затем, перейдя к искаженным координатам весьма общего вида, он пришел непосредственно к тензору, имеющему большое геометрическое значение, — так называемому
Роль, которую играет этот тензор, может быть показана на простом примере. На двумерной гладкой поверхности океана мы обычно определяем местоположение с помощью координат, которые называются широтой и долготой. Представим себе, что какая-то лодка отправляется в небольшое путешествие, и предположим, что нам известны широта и долгота начального и конечного пунктов. Если лодка плывет по кратчайшему маршруту, мы можем, решив простую алгебраическую задачу, непосредственно вычислить фактическое расстояние, пройденное лодкой по поверхности океана. Ничто не мешает нам это сделать, несмотря на то что ни изменение долготы, ни изменение широты сами по себе не являются расстоянием. Обратить эти небольшие, связанные между собой изменения координат непосредственно в пройденное расстояние помогает метрический тензор, относящийся к двумерной поверхности. В 1827 г., задолго до возникновения идеи тензоров, великий немецкий математик К. Гаусс показал, что этот метрический тензор несет более глубокую геометрическую информацию. С помощью достаточно сложной математической операции можно в данном случае узнать, что мы находимся на поверхности, изогнутой как участок сферы, а не искривленной, скажем, в форме седла, и не плоской, как равнина. И что особенно важно, это можно узнать, не выходя за пределы поверхности, оставаясь внутри нее.
Если интуиция Эйнштейна не ввела его в заблуждение и если все еще не проверенный принцип эквивалентности действительно заслуживает доверия, то метрический тензор четырехмерного пространства — времени, связывающий между собой координаты и измерения, должен был бы описывать гравитацию. Из этого следует глубокий вывод о том, что гравитация, очевидно, имеет существенно геометрическую природу.
