Всем известно, что существуют тройки натуральных чисел, верных для Теоремы Пифагора. Но эти числа в основном находили методом подбора. И если доказать, что есть некий алгоритм нахождения этих троек чисел, то возможно утверждение о том, что 10 проблема Гильберта неразрешима ошибочно..
В 1900г. на 1 Международном математическом конгрессе, известный математик Давид Гильберт[1] поставил перед математиками всего мира 23 задачи. Эти задачи принято называть "Проблемами Гильберта".
Решением десятой проблемы Гильберта стало признание ее неразрешимости, доказанное советским математиком Ю.В.Матясевичем [2] в 1970г.
Доказательство неразрешимости Матиясевича признано как единственно допустимое, но возможно это не так.
Итак, для того, чтобы опровергнуть, либо подтвердить это доказательство нужно вначале напомнить задачу, определенную Д.Гильбертом в 10-й проблеме.
«Пусть задано диофантово уравнение с произвольными неизвестными и целыми рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых рациональных числах»
То есть нужно найти некий алгоритм, при помощи которого возможно находить натуральные (целочисленные) значения для произвольных неизвестных.
Самое известное уравнение Диофанта[3] это формула Пифагора[4].
Известны также так называемые «тройки Пифагора», целочисленные значения для неизвестных «a,b,c»
3,4,5; 5,12,13; 7,24,25 и т.д. Эти тройки имеют два сходства: первое – квадрат первого числа равен сумме двух других чисел, второе – разница между вторым и третьим числом равна 1. Следовательно, можно предположить, что это не случайные совпадения. Исходя из этого, составим равенства
Теперь, используя все эти формулы, составим уравнения
Подставим эти уравнения в формулу Пифагора
Получилось равенство значений правой и левой сторон уравнения. Это можно считать доказательством существования алгоритма нахождения натуральных значений «пифагоровых троек». Итак, обобщим формулы алгоритма и собственно получившийся алгоритм
Но эти формулы диофантовы лишь для нечетных чисел, хотя при постановке в формулы четных чисел для «а» также можно найти значения двух других чисел «b» «c», эти значения будут рациональными, но не целыми числами.
Пример № 1
«а»= 8
Также, применяя этот алгоритм, можно находить соответствующие значения «троек» для любых рациональных чисел.
Пример № 2
a=2,5
Так как закономерностью алгоритма является соотношение
то значение «c» можно найти, добавив к числу «b» 1
Алгоритм верен и для дробей
Пример № 3
И для квадратных корней
Пример № 4
Применяя этот алгоритм, можно находить значения практически всех троек Пифагора.
Однако существуют тройки, которые не подходят к этому алгоритму: 20,21,29; 12,35,37; 14,48,50; 15,36,39 и т.д.
Следовательно: этот алгоритм нельзя назвать единым способом нахождения всех Пифагоровых троек. Но не будем опускать руки. Разберем пример с числовой тройкой 20,21,29
Выше я привел пример с а=2.5, значения b и с были соответственно 2.625 и 3.625, если предположить, что число 20 это производная числа 2.5, то получится коэффициент равный 8, и следовательно числа 20,21,29 не являются взаимно простыми. Проверим это предположение
Коэффициент кратности исходного уравнения совпадает с разностью между «b» и «с». Чтобы выяснить совпадение это или закономерность, проверим другую тройку 15,36,39. Разница между «b» и «с» составляет 3
Пример № 5
Получилась уже известная тройка 5,12,13, то есть удовлетворяющая условиям исходного или первичного алгоритма, что и требовалось подтвердить.
Остается еще один вопрос. При возведении числа в квадрат не важно, с каким знаком: плюсом или минусом, результат все равно будет иметь положительное значение. Это важно для подтверждения правильности алгоритма. В примере 3, число «b» имеет отрицательное значение, но если поменять знак ничего не изменится, и результат останется прежним. Если поменять знак числа b с минуса на плюс, разница между b и с, уменьшится в 9 раз
Пример № 6
Исходя из вышеизложенного, можно предположить, что разница является коэффициентом кратности исходного уравнения. Для проверки этого предположения нужно разделить числа тройки на получившийся коэффициент.
И вновь получилась уже известная тройка 3,4,5.
На основании полученных результатов, можно записать алгоритм кратности
Осталось объединить получившиеся алгоритмы в один универсальный.
Теперь можно вычислять абсолютно все пифагоровы тройки, зная или задавая значение любого одного числа из тройки и задавая кратность уравнению.
Задача № 1
Найти значения чисел «а» и «b» в уравнении
Условия задачи
Дано:
Значение числа «с»=161
Коэффициент кратности уравнения «k»=7
Воспользуемся формулами универсального алгоритма
Проверим получившийся результат
Задача решена, числа найдены.
Задача № 2
Требуется найти натуральные значения чисел «b» и «с» для уравнения
Условия задачи
Дано:
Воспользуемся формулами, для нахождения исходных «троек»
Подставим числа в формулу
Теперь нужно привести все числа к общему знаменателю
Остается воспользоваться формулой кратности
Проверяем
Задача решена, числа найдены.
